Каково фокусное расстояние лупы, если она обеспечивает трехкратное увеличение и располагается на расстоянии наилучшего

\(25\) см?

Для решения этой задачи нам понадобятся следующие сведения:

1. Понятие фокусного расстояния лупы - это расстояние между линзой и фокальной плоскостью, где лучи, проходящие через лупу, сходятся или расходятся.

2. Трехкратное увеличение означает, что изображение, увиденное через лупу, будет трижды увеличено по сравнению с безлупным изображением.

3. Расстояние наилучшего зрения - это расстояние между глазом человека и предметом, который он наблюдает, при котором изображение на сетчатке глаза будет наиболее четким.

Теперь перейдем к решению задачи.

По определению, увеличение лупы можно выразить как отношение угла, под которым видно изображение через лупу, к углу, под которым видно то же самое изображение без лупы. Формула для этого отношения выглядит следующим образом:

\[Увеличение = \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\alpha_0)}\]

где \(\alpha\) - угол, под которым видно изображение через лупу, а \(\alpha_0\) - угол, под которым видно то же самое изображение без лупы.

Известно, что увеличение лупы равно трём:

\[3 = \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\alpha_0)}\]

Так как лупа располагается на расстоянии наилучшего зрения, угол \(\alpha_0\) будет равен \(45\) градусам. Это связано с тем, что наилучшее зрение у человека возникает, когда его глаз направлен под прямым углом (\(90\) градусов) к излучаемым лучам.

Подставим значения в формулу увеличения:

\[3 = \frac{\sin(\alpha)}{\sin(45^\circ)}\]

Упростим выражение:

\[3\sin(45^\circ) = \sin(\alpha)\]

\[3\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin(\alpha)\]

\[\sqrt{2} = \sin(\alpha)\]

Теперь найдем угол \(\alpha\), для этого возьмем обратный синус от \(\sqrt{2}\):

\[\alpha = \arcsin(\sqrt{2}) \approx 54.7^\circ\]

Таким образом, угол \(\alpha\) равен примерно \(54.7\) градусов.

Найдем теперь фокусное расстояние лупы с помощью формулы:

\[Фокусное\ расстояние = D \cdot \tan(\alpha)\]

где \(D\) - расстояние наилучшего зрения, которое составляет \(25\) см.

Подставим значения и рассчитаем фокусное расстояние:

\[Фокусное\ расстояние = 25 \cdot \tan(54.7^\circ)\]

\[Фокусное\ расстояние \approx 30.4\ см\]

Таким образом, фокусное расстояние лупы при трехкратном увеличении и расположении на расстоянии наилучшего зрения, равно примерно \(30.4\) см.