Каково фокусное расстояние лупы, если она обеспечивает трехкратное увеличение и располагается на расстоянии наилучшего

$25$ см?

Для решения этой задачи нам понадобятся следующие сведения:

1. Понятие фокусного расстояния лупы - это расстояние между линзой и фокальной плоскостью, где лучи, проходящие через лупу, сходятся или расходятся.

2. Трехкратное увеличение означает, что изображение, увиденное через лупу, будет трижды увеличено по сравнению с безлупным изображением.

3. Расстояние наилучшего зрения - это расстояние между глазом человека и предметом, который он наблюдает, при котором изображение на сетчатке глаза будет наиболее четким.

Теперь перейдем к решению задачи.

По определению, увеличение лупы можно выразить как отношение угла, под которым видно изображение через лупу, к углу, под которым видно то же самое изображение без лупы. Формула для этого отношения выглядит следующим образом:

$$Увеличение=\frac{\sin (\alpha )}{\sin ({\alpha }_0)}$$

где $\alpha$ - угол, под которым видно изображение через лупу, а ${\alpha }_0$ - угол, под которым видно то же самое изображение без лупы.

Известно, что увеличение лупы равно трём:

$$3=\frac{\sin (\alpha )}{\sin ({\alpha }_0)}$$

Так как лупа располагается на расстоянии наилучшего зрения, угол ${\alpha }_0$ будет равен $45$ градусам. Это связано с тем, что наилучшее зрение у человека возникает, когда его глаз направлен под прямым углом ($90$ градусов) к излучаемым лучам.

Подставим значения в формулу увеличения:

$$3=\frac{\sin (\alpha )}{\sin ({45}^{\circ })}$$

Упростим выражение:

$$3\sin ({45}^{\circ })=\sin (\alpha )$$

$$3\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=\sin (\alpha )$$

$$\sqrt{2}=\sin (\alpha )$$

Теперь найдем угол $\alpha$, для этого возьмем обратный синус от $\sqrt{2}$:

$$\alpha =\arcsin (\sqrt{2})\approx {54.7}^{\circ }$$

Таким образом, угол $\alpha$ равен примерно $54.7$ градусов.

Найдем теперь фокусное расстояние лупы с помощью формулы:

$$Фокусноерасстояние=D\cdot \tan (\alpha )$$

где $D$ - расстояние наилучшего зрения, которое составляет $25$ см.

Подставим значения и рассчитаем фокусное расстояние:

$$Фокусноерасстояние=25\cdot \tan ({54.7}^{\circ })$$

$$Фокусноерасстояние\approx 30.4см$$

Таким образом, фокусное расстояние лупы при трехкратном увеличении и расположении на расстоянии наилучшего зрения, равно примерно $30.4$ см.