Каково доказательство равенства выделенных частей отрезков AB и CD в квадрате 3x3 клетки, как показано на рисунках?

Рассмотрим данную задачу и пошагово продемонстрируем доказательство равенства выделенных частей отрезков AB и CD в квадрате 3x3 клетки.

Шаг 1: Рассмотрим квадрат 3x3 и проведём горизонтальные и вертикальные линии, разделяющие его на 9 маленьких квадратов, как показано на рисунке.

\[
\begin{array}{ccc}
A_1 & A_2 & A_3 \\
B_1 & B_2 & B_3 \\
C_1 & C_2 & C_3 \\
\end{array}
\]

Шаг 2: Обратим внимание, что фигуры, образованные отрезками AB и CD, являются треугольными. Для удобства, введем обозначения для площадей этих треугольников. Пусть \(S_1\) - площадь треугольника, образованного отрезком AB, а \(S_2\) - площадь треугольника, образованного отрезком CD.

Шаг 3: Начнем с расчета площади треугольника, образованного отрезком AB. Для этого рассмотрим внутренний треугольник B1B2C2. Этот треугольник имеет равные стороны B1B2 и B2C2 (по построению).

Площадь треугольника B1B2C2 равна половине произведения длин этих сторон, то есть \(S_1 = \frac{1}{2} \cdot B1B2 \cdot B2C2\).

Шаг 4: Аналогично, рассчитаем площадь треугольника, образованного отрезком CD, используя внутренний треугольник A2A3B3. Этот треугольник также имеет равные стороны A2A3 и A3B3.

Площадь треугольника A2A3B3 равна половине произведения длин этих сторон, то есть \(S_2 = \frac{1}{2} \cdot A2A3 \cdot A3B3\).

Шаг 5: Теперь рассмотрим соотношение между \(S_1\) и \(S_2\) и докажем их равенство.

По построению квадрата 3x3, имеем B1B2 = A2A3 и B2C2 = A3B3, поэтому можем записать соотношение между площадями:

\[
\frac{1}{2} \cdot B1B2 \cdot B2C2 = \frac{1}{2} \cdot A2A3 \cdot A3B3
\]

Шаг 6: Упростим это соотношение и получим:

\[
B1B2 \cdot B2C2 = A2A3 \cdot A3B3
\]

Таким образом, мы доказали, что площади треугольников, образованных отрезками AB и CD, равны между собой. Следовательно, выделенные части отрезков AB и CD в квадрате 3x3 клетки равны.