Каково доказательство равенства выделенных частей отрезков AB и CD в квадрате 3x3 клетки, как показано на рисунках?

Рассмотрим данную задачу и пошагово продемонстрируем доказательство равенства выделенных частей отрезков AB и CD в квадрате 3x3 клетки.

Шаг 1: Рассмотрим квадрат 3x3 и проведём горизонтальные и вертикальные линии, разделяющие его на 9 маленьких квадратов, как показано на рисунке.

$$\begin{array}{ccc}{A}_1& A_2& A_3\\ B_1& B_2& B_3\\ C_1& C_2& C_3\end{array}$$

Шаг 2: Обратим внимание, что фигуры, образованные отрезками AB и CD, являются треугольными. Для удобства, введем обозначения для площадей этих треугольников. Пусть $S_1$ - площадь треугольника, образованного отрезком AB, а $S_2$ - площадь треугольника, образованного отрезком CD.

Шаг 3: Начнем с расчета площади треугольника, образованного отрезком AB. Для этого рассмотрим внутренний треугольник B1B2C2. Этот треугольник имеет равные стороны B1B2 и B2C2 (по построению).

Площадь треугольника B1B2C2 равна половине произведения длин этих сторон, то есть $S_1=\frac{1}{2}\cdot B1B2\cdot B2C2$.

Шаг 4: Аналогично, рассчитаем площадь треугольника, образованного отрезком CD, используя внутренний треугольник A2A3B3. Этот треугольник также имеет равные стороны A2A3 и A3B3.

Площадь треугольника A2A3B3 равна половине произведения длин этих сторон, то есть $S_2=\frac{1}{2}\cdot A2A3\cdot A3B3$.

Шаг 5: Теперь рассмотрим соотношение между $S_1$ и $S_2$ и докажем их равенство.

По построению квадрата 3x3, имеем B1B2 = A2A3 и B2C2 = A3B3, поэтому можем записать соотношение между площадями:

$$\frac{1}{2}\cdot B1B2\cdot B2C2=\frac{1}{2}\cdot A2A3\cdot A3B3$$

Шаг 6: Упростим это соотношение и получим:

$$B1B2\cdot B2C2=A2A3\cdot A3B3$$

Таким образом, мы доказали, что площади треугольников, образованных отрезками AB и CD, равны между собой. Следовательно, выделенные части отрезков AB и CD в квадрате 3x3 клетки равны.