Каково дифференциальное уравнение и время достижения двукратного увеличения численности насекомых в замкнутой

Дифференциальное уравнение является математическим выражением, которое связывает производную функции с самой функцией. Оно позволяет описать изменение величины в зависимости от других факторов или переменных. В данном случае, мы хотим найти дифференциальное уравнение, которое описывает изменение численности насекомых в замкнутой биосистеме.

Предположим, что численность насекомых в замкнутой биосистеме в момент времени t обозначается как N(t). Тогда, известно, что насекомые размножаются со скоростью, пропорциональной текущей численности насекомых.

Мы можем записать это как дифференциальное уравнение следующего вида:

\(\frac{dN(t)}{dt} = k \cdot N(t)\)

Где \(\frac{dN(t)}{dt}\) обозначает производную численности насекомых по времени (скорость изменения численности), а k обозначает постоянную пропорциональности.

Для решения этого дифференциального уравнения, мы можем использовать метод разделения переменных. Для этого, давайте разделим уравнение на обе стороны и переместим переменные:

\(\frac{dN(t)}{N(t)} = k \cdot dt\)

Затем, нам нужно проинтегрировать обе стороны уравнения. После интегрирования мы получаем:

\(\ln|N(t)| = k \cdot t + C\)

Где C - это произвольная постоянная интегрирования. Чтобы найти значение C, мы можем использовать начальное условие. Допустим, что изначально численность насекомых равняется N_0 в момент t = 0. Тогда мы можем записать:

\(\ln|N_0| = k \cdot 0 + C\)

Так как \(\ln|N_0| = \ln|N_0|\), то мы можем сказать, что C = \(\ln|N_0|\). Подставив это значение обратно в уравнение, мы получаем:

\(\ln|N(t)| = k \cdot t + \ln|N_0|\)

Чтобы избавиться от натурального логарифма, мы можем применить экспоненту к обеим сторонам уравнения:

\(e^{\ln|N(t)|} = e^{k \cdot t + \ln|N_0|}\)

\(N(t) = e^{k \cdot t} \cdot e^{\ln|N_0|}\)

Так как \(e^{\ln|N_0|}\) равно N_0, то мы можем упростить уравнение:

\(N(t) = N_0 \cdot e^{k \cdot t}\)

Теперь мы можем рассмотреть вторую часть задачи, время достижения двукратного увеличения численности насекомых. Мы хотим найти время t, при котором N(t) становится равной двукратному значению N_0.

Подставим это значение в уравнение:

\(2 \cdot N_0 = N_0 \cdot e^{k \cdot t}\)

Делим обе стороны на N_0, чтобы избавиться от N_0:

\(2 = e^{k \cdot t}\)

Теперь возьмем натуральный логарифм от обеих сторон:

\(\ln 2 = \ln(e^{k \cdot t})\)

Используя свойства логарифмов, мы можем переписать это уравнение:

\(\ln 2 = k \cdot t\)

И, наконец, выражаем t:

\(t = \frac{\ln 2}{k}\)

Таким образом, время достижения двукратного увеличения численности насекомых в замкнутой биосистеме равно \(\frac{\ln 2}{k}\).