Каково число лампочек, которое будет испробовано, если имеется n лампочек, каждая из которых имеет дефект

Для решения этой задачи воспользуемся биномиальным распределением. Пусть X - случайная величина, равная числу испытанных лампочек до того момента, как будет найдена исправная лампочка. Таким образом, X - это количество неисправных лампочек, которые были испробованы.

1. Построение ряда распределения случайной величины X:

Ряд распределения случайной величины X задается следующей формулой:
\[P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]
где C_n^k - число сочетаний из n элементов по k элементов, равное \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\).

4.1 При условии n=4, p=0,2 и k=3:
\[P(X = 3) = C_4^3 \cdot 0,2^3 \cdot (1-0,2)^{4-3}\]
\[P(X = 3) = \frac{4!}{3!(4-3)!} \cdot 0,2^3 \cdot 0,8^1\]
\[P(X = 3) = 4 \cdot 0,008 \cdot 0,8\]
\[P(X = 3) = 0,0256\]

Таким образом, вероятность того, что испробовано будет 3 лампочки, равна 0,0256.

Используя аналогичные вычисления, можем найти вероятность для других значений k.

4.2 При условии n=5, p=0,1 и k=4:
\[P(X = 4) = C_5^4 \cdot 0,1^4 \cdot (1-0,1)^{5-4}\]
\[P(X = 4) = \frac{5!}{4!(5-4)!} \cdot 0,1^4 \cdot 0,9^1\]
\[P(X = 4) = 5 \cdot 0,0001 \cdot 0,9\]
\[P(X = 4) = 0,00045\]

Таким образом, вероятность того, что испробовано будет 4 лампочки, равна 0,00045.

2. Функция распределения случайной величины f(x):

Функция распределения случайной величины X для заданных значений \(n\) и \(p\) может быть найдена при помощи кумулятивной суммы вероятностей:
\[f(x) = P(X \leq x) = P(X = 0) + P(X = 1) + ... + P(X = x)\]

В нашем случае, \(x\) может равняться любому значению от 0 до \(n\).

3. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X:

Математическое ожидание случайной величины X может быть найдено по формуле:
\[M X = n \cdot p\]

Дисперсия случайной величины X может быть найдена по формуле:
\[D X = n \cdot p \cdot (1-p)\]

Вычислим математическое ожидание и дисперсию для заданных значений \(n\) и \(p\):

4.1 При условии n=4 и p=0,2:
\[M X = 4 \cdot 0,2 = 0,8\]
\[D X = 4 \cdot 0,2 \cdot (1-0,2) = 0,64\]

Таким образом, математическое ожидание случайной величины X равно 0,8, а дисперсия равна 0,64.

4.2 При условии n=5 и p=0,1:
\[M X = 5 \cdot 0,1 = 0,5\]
\[D X = 5 \cdot 0,1 \cdot (1-0,1) = 0,45\]

Таким образом, математическое ожидание случайной величины X равно 0,5, а дисперсия равна 0,45.

В итоге, при условии n=4, p=0,2 и k=3, количество испробованных лампочек равно 3.
При условии n=5, p=0,1 и k=4, количество испробованных лампочек равно 4.