Какова жесткость пружины, если ее сжали на 5 см и шарик массой 20 г вылетел со скоростью 2 м/с?

Хорошо, давайте решим данную задачу. Для этого нам понадобится использовать законы гармонических колебаний и закон сохранения энергии.

По закону гармонических колебаний, сила \( F \), действующая на пружину, прямо пропорциональна ее жесткости \( k \) и смещению \( x \): \( F = -kx \).
Здесь знак "минус" указывает на то, что сила, возвращающая пружину в положение равновесия, направлена в противоположную сторону от смещения.

Мы также можем использовать закон сохранения энергии, согласно которому потенциальная энергия \( U \) и кинетическая энергия \( K \) системы остаются постоянными в течение всего движения: \( U + K = const \).

Когда мы сжимаем пружину на 5 см, у нас есть потенциальная энергия, но еще нет кинетической энергии:
\[ U = \frac{1}{2} k x^2 \]

Когда шарик вылетает со скоростью 2 м/с, у нас есть только кинетическая энергия, но нет потенциальной энергии:
\[ K = \frac{1}{2} m v^2 \]

Так как система сохраняет полную механическую энергию, мы можем записать уравнение:
\[ U_{начальное} + K_{начальное} = U_{конечное} + K_{конечное} \]

С учетом всех этих данных, давайте решим данную задачу:

Начнем с рассмотрения потенциальной энергии \( U_{начальное} \), когда пружина сжата на 5 см. Поскольку длина сжатия пружины равна 5 см, \( x = -0.05 \) м (минус означает, что смещение направлено в противоположном направлении от положения равновесия). Мы также знаем массу \( m \) шарика (20 г), и его скорость вылета \( v \) равна 2 м/с.

Теперь, рассчитаем потенциальную энергию \( U_{начальное} \):
\[ U_{начальное} = \frac{1}{2} k x^2 \]

Подставляя значения, получаем:
\[ U_{начальное} = \frac{1}{2} k (-0.05)^2 \]

Продолжим с рассмотрением кинетической энергии \( K_{конечное} \) шарика при его вылете. Мы знаем его массу \( m \) (20 г) и скорость \( v \) (2 м/с).
Теперь рассчитаем кинетическую энергию \( K_{конечное} \):
\[ K_{конечное} = \frac{1}{2} m v^2 \]

Подставляя значения, получаем:
\[ K_{конечное} = \frac{1}{2} \cdot (0.02 \, \text{кг}) \cdot (2 \, \text{м/с})^2 \]

Теперь у нас есть два уравнения (для начальной и конечной энергии), и мы можем записать уравнение сохранения энергии:

\[ U_{начальное} + K_{начальное} = U_{конечное} + K_{конечное} \]

\[ \frac{1}{2} k (-0.05)^2 + 0 = 0 + \frac{1}{2} \cdot (0.02) \cdot (2)^2 \]

\[ \frac{1}{2} k \cdot (0.05)^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.02 \cdot 4 \]

Теперь можем решить это уравнение и найти значение жесткости пружины \( k \):

\[ k \cdot (0.05)^2 = 0.02 \]

\[ k = \frac{0.02}{(0.05)^2} \]

\[ k = 160 \, \text{Н/м} \]

Таким образом, жесткость пружины равна \( 160 \, \text{Н/м} \).