Через какое время будет происходить распад 7/8 от исходного количества стронциевых ядер, если период полураспада стронция равен 29 годам?
Кроша
Для решения этой задачи нам необходимо использовать формулу для распада радиоактивных веществ с известным периодом полураспада. Формула выглядит следующим образом:
\[N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{\frac{1}{2}}}}\]
Где:
- \(N(t)\) - количество оставшихся ядер после времени \(t\)
- \(N_0\) - исходное количество ядер
- \(t\) - время, через которое мы хотим узнать количество ядер
- \(T_{\frac{1}{2}}\) - период полураспада радиоактивного вещества
В нашем случае, исходное количество ядер равно \(N_0 = 1\), поскольку мы рассматриваем относительное количество ядер, а не абсолютное количество. Подставляя все значения в формулу, мы получаем:
\[N(t) = 1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{29}}\]
Теперь нам нужно определить, через какое время будет происходить распад 7/8 от исходного количества ядер. Имея в виду, что через 29 лет происходит полураспад, то через \(t\) лет будет происходить \(\frac{7}{8}\) от исходного количества ядер. Мы можем записать это в виде уравнения:
\[\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{29}} = \frac{7}{8}\]
Чтобы решить это уравнение относительно \(t\), нам необходимо избавиться от степени числа \(\frac{1}{2}\) в левой части. Для этого мы возведем обе части уравнения в степень \(\frac{1}{\frac{t}{29}}\):
\[\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{29}}\right)^{\frac{29}{t}} = \left(\frac{7}{8}\right)^{\frac{29}{t}}\]
Упрощая, получаем:
\[\frac{1}{2} = \left(\frac{7}{8}\right)^{\frac{29}{t}}\]
Затем мы можем избавиться от обратного значения \(\frac{1}{2}\) в левой части, возводя обе части в степень \(-1\):
\[\left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = \left(\left(\frac{7}{8}\right)^{\frac{29}{t}}\right)^{-1}\]
Теперь у нас получается следующее уравнение:
\[2 = \left(\frac{8}{7}\right)^{\frac{29}{t}}\]
Далее, чтобы избавиться от степени числа, мы возведем обе части уравнения в степень \(\frac{t}{29}\):
\[2^{\frac{t}{29}} = \left(\frac{8}{7}\right)^{\frac{29}{t}}\]
Используя свойство равенства степеней с одинаковым основанием, мы можем сказать, что:
\[2^{\frac{t}{29}} = \left(\left(\frac{2}{7}\right)^{-1}\right)^{\frac{29}{t}}\]
Получается:
\[2^{\frac{t}{29}} = \left(\frac{2}{7}\right)^{-\frac{29}{t}}\]
Используя свойство отрицательной степени числа, мы можем записать:
\[2^{\frac{t}{29}} = \left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{29}{t}}\]
Теперь, чтобы уравнение имело одинаковые основания, возведем обе части в степень \(\frac{t}{29}\):
\[2^{\frac{t}{29} \cdot \frac{t}{29}} = \left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{t}{29} \cdot \frac{29}{t}}\]
Упрощаем:
\[2^{\frac{t^2}{29^2}} = \left(\frac{7}{2}\right)^1\]
Так как \(a^1 = a\), то у нас получается:
\[2^{\frac{t^2}{29^2}} = \frac{7}{2}\]
Чтобы избавиться от базы 2 в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в степень \(\frac{1}{\frac{t^2}{29^2}}\):
\[\left(2^{\frac{t^2}{29^2}}\right)^{\frac{29^2}{t^2}} = \left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{29^2}{t^2}}\]
Упрощаем:
\[2^{\frac{t^2}{29^2} \cdot \frac{29^2}{t^2}} = \left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{29^2}{t^2}}\]
Получается:
\[2 = \left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{29^2}{t^2}}\]
Теперь, чтобы избавиться от основания \(\frac{7}{2}\) в правой части уравнения, возведем обе части уравнения в степень \(\frac{2}{29^2}\):
\[2^{\frac{2}{29^2}} = \left(\left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{29^2}{t^2}}\right)^{\frac{2}{29^2}}\]
Возводя правую часть в степень, получаем:
\[2^{\frac{2}{29^2}} = \left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{29^2 \cdot 2}{t^2 \cdot 29^2}}\]
Упрощаем, используя свойство рациональной степени:
\[2^{\frac{2}{29^2}} = \left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{2}{t^2}}\]
Записывая степень числа в виде дроби, получаем:
\[2^{\frac{2}{29^2}} = \left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{1}{\frac{t^2}{2}}}\]
Теперь мы можем сказать, что левая и правая части уравнения равны, поскольку они имеют одинаковую степень с основаниями, равными 2 и \(\frac{7}{2}\) соответственно. Таким образом, мы можем записать:
\[\frac{2}{29^2} = \frac{1}{\frac{t^2}{2}}\]
Перемножая числители и знаменатели, получаем:
\[\frac{2}{29^2} = \frac{2}{t^2}\]
Теперь мы можем сократить общий множитель:
\[\frac{1}{29^2} = \frac{1}{t^2}\]
Инвертировав обе части уравнения, мы получим:
\[29^2 = t^2\]
Взяв квадратный корень с обеих сторон уравнения:
\[t = 29\]
Таким образом, распад 7/8 от исходного количества стронциевых ядер произойдет через 29 лет.
\[N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{\frac{1}{2}}}}\]
Где:
- \(N(t)\) - количество оставшихся ядер после времени \(t\)
- \(N_0\) - исходное количество ядер
- \(t\) - время, через которое мы хотим узнать количество ядер
- \(T_{\frac{1}{2}}\) - период полураспада радиоактивного вещества
В нашем случае, исходное количество ядер равно \(N_0 = 1\), поскольку мы рассматриваем относительное количество ядер, а не абсолютное количество. Подставляя все значения в формулу, мы получаем:
\[N(t) = 1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{29}}\]
Теперь нам нужно определить, через какое время будет происходить распад 7/8 от исходного количества ядер. Имея в виду, что через 29 лет происходит полураспад, то через \(t\) лет будет происходить \(\frac{7}{8}\) от исходного количества ядер. Мы можем записать это в виде уравнения:
\[\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{29}} = \frac{7}{8}\]
Чтобы решить это уравнение относительно \(t\), нам необходимо избавиться от степени числа \(\frac{1}{2}\) в левой части. Для этого мы возведем обе части уравнения в степень \(\frac{1}{\frac{t}{29}}\):
\[\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{29}}\right)^{\frac{29}{t}} = \left(\frac{7}{8}\right)^{\frac{29}{t}}\]
Упрощая, получаем:
\[\frac{1}{2} = \left(\frac{7}{8}\right)^{\frac{29}{t}}\]
Затем мы можем избавиться от обратного значения \(\frac{1}{2}\) в левой части, возводя обе части в степень \(-1\):
\[\left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = \left(\left(\frac{7}{8}\right)^{\frac{29}{t}}\right)^{-1}\]
Теперь у нас получается следующее уравнение:
\[2 = \left(\frac{8}{7}\right)^{\frac{29}{t}}\]
Далее, чтобы избавиться от степени числа, мы возведем обе части уравнения в степень \(\frac{t}{29}\):
\[2^{\frac{t}{29}} = \left(\frac{8}{7}\right)^{\frac{29}{t}}\]
Используя свойство равенства степеней с одинаковым основанием, мы можем сказать, что:
\[2^{\frac{t}{29}} = \left(\left(\frac{2}{7}\right)^{-1}\right)^{\frac{29}{t}}\]
Получается:
\[2^{\frac{t}{29}} = \left(\frac{2}{7}\right)^{-\frac{29}{t}}\]
Используя свойство отрицательной степени числа, мы можем записать:
\[2^{\frac{t}{29}} = \left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{29}{t}}\]
Теперь, чтобы уравнение имело одинаковые основания, возведем обе части в степень \(\frac{t}{29}\):
\[2^{\frac{t}{29} \cdot \frac{t}{29}} = \left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{t}{29} \cdot \frac{29}{t}}\]
Упрощаем:
\[2^{\frac{t^2}{29^2}} = \left(\frac{7}{2}\right)^1\]
Так как \(a^1 = a\), то у нас получается:
\[2^{\frac{t^2}{29^2}} = \frac{7}{2}\]
Чтобы избавиться от базы 2 в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в степень \(\frac{1}{\frac{t^2}{29^2}}\):
\[\left(2^{\frac{t^2}{29^2}}\right)^{\frac{29^2}{t^2}} = \left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{29^2}{t^2}}\]
Упрощаем:
\[2^{\frac{t^2}{29^2} \cdot \frac{29^2}{t^2}} = \left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{29^2}{t^2}}\]
Получается:
\[2 = \left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{29^2}{t^2}}\]
Теперь, чтобы избавиться от основания \(\frac{7}{2}\) в правой части уравнения, возведем обе части уравнения в степень \(\frac{2}{29^2}\):
\[2^{\frac{2}{29^2}} = \left(\left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{29^2}{t^2}}\right)^{\frac{2}{29^2}}\]
Возводя правую часть в степень, получаем:
\[2^{\frac{2}{29^2}} = \left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{29^2 \cdot 2}{t^2 \cdot 29^2}}\]
Упрощаем, используя свойство рациональной степени:
\[2^{\frac{2}{29^2}} = \left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{2}{t^2}}\]
Записывая степень числа в виде дроби, получаем:
\[2^{\frac{2}{29^2}} = \left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{1}{\frac{t^2}{2}}}\]
Теперь мы можем сказать, что левая и правая части уравнения равны, поскольку они имеют одинаковую степень с основаниями, равными 2 и \(\frac{7}{2}\) соответственно. Таким образом, мы можем записать:
\[\frac{2}{29^2} = \frac{1}{\frac{t^2}{2}}\]
Перемножая числители и знаменатели, получаем:
\[\frac{2}{29^2} = \frac{2}{t^2}\]
Теперь мы можем сократить общий множитель:
\[\frac{1}{29^2} = \frac{1}{t^2}\]
Инвертировав обе части уравнения, мы получим:
\[29^2 = t^2\]
Взяв квадратный корень с обеих сторон уравнения:
\[t = 29\]
Таким образом, распад 7/8 от исходного количества стронциевых ядер произойдет через 29 лет.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
