Какова высота треугольной пирамиды, у которой боковое ребро равно 5, а сторона основания равна 3корень

Если боковое ребро треугольной пирамиды равно 5, а сторона основания равна \(3\sqrt{3}\), то мы можем использовать теорему Пифагора и теорему косинусов для решения этой задачи.

Для начала, построим прямоугольный треугольник, где один из катетов равен половине основания пирамиды, а гипотенуза равна боковому ребру пирамиды. Обозначим этот катет за \(a\) и гипотенузу за \(c\) (в нашем случае \(a = \frac{3\sqrt{3}}{2}\), \(c = 5\)).

Используя теорему Пифагора, можем выразить второй катет \(b\) через \(a\) и \(c\). Теорема Пифагора гласит:
\[a^2 + b^2 = c^2\]

Подставим известные значения:
\[\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2 + b^2 = 5^2\]
\[\frac{9 \cdot 3}{4} + b^2 = 25\]
\[\frac{27}{4} + b^2 = 25\]
\[b^2 = 25 - \frac{27}{4}\]
\[b^2 = \frac{100 - 27}{4}\]
\[b^2 = \frac{73}{4}\]
\[b = \sqrt{\frac{73}{4}}\]
\[b = \frac{\sqrt{73}}{2}\]

Теперь, чтобы найти высоту пирамиды, нам нужно провести высоту из вершины пирамиды на основание так, чтобы она перпендикулярно его проходила. Обозначим эту высоту за \(h\).

Получаем прямоугольный треугольник, где катет \(b\) равен половине стороны основания, а гипотенуза равна высоте пирамиды. Обозначим этот катет за \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\) и гипотенузу за \(h\).

Используя теорему Пифагора в этом треугольнике, можем найти высоту:
\[\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2 + h^2 = \text{высота}^2\]
\[\frac{9 \cdot 3}{4} + h^2 = \text{высота}^2\]
\[\frac{27}{4} + h^2 = \text{высота}^2\]
\[h^2 = \text{высота}^2 - \frac{27}{4}\]
\[h^2 = \frac{108 - 27}{4}\]
\[h^2 = \frac{81}{4}\]
\[h = \frac{9}{2}\]

Таким образом, высота треугольной пирамиды равна \(\frac{9}{2}\) (или 4.5 в десятичной форме).