Каков синус острого угла a треугольника abc, если косинус равен корню из 19, поделенному

Чтобы найти значение синуса острого угла a треугольника ABC, если косинус равен \(\sqrt{19}\) поделенному на 3, мы можем использовать тригонометрические соотношения.

Косинус (cos) и синус (sin) угла a в треугольнике ABC связаны следующим образом:

\[\cos(a) = \frac{{\text{прилежащая катета}}}{{\text{гипотенузы}}}\]
\[\sin(a) = \frac{{\text{противолежащая катета}}}{{\text{гипотенузы}}}\]

Нам дано значение косинуса, а мы хотим найти синус. Так как \(\cos(a) = \frac{{\sqrt{19}}}{3}\), мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения противолежащей катеты.

Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике с гипотенузой c и катетами a и b выполняется соотношение:
\[a^2 + b^2 = c^2\]

В нашем случае гипотенузой является 3, так как \(\cos(a) = \frac{{\sqrt{19}}}{3}\). Обозначим противолежащую катету как b и найдем ее значение с использованием теоремы Пифагора:
\[b^2 + \left(\frac{{\sqrt{19}}}{3}\right)^2 = 3^2\]
\[b^2 + \frac{19}{9} = 9\]
\[b^2 = 9 - \frac{19}{9}\]
\[b^2 = \frac{81 - 19}{9}\]
\[b^2 = \frac{62}{9}\]
\[b = \sqrt{\frac{62}{9}}\]

Таким образом, мы нашли значение противолежащей катеты:
\[b = \frac{\sqrt{62}}{3}\]

Теперь мы можем найти значение синуса острого угла a, используя соотношение:
\[\sin(a) = \frac{{\text{противолежащая катета}}}{{\text{гипотенузы}}} = \frac{{\frac{{\sqrt{62}}}{3}}}{{3}}\]

Упростив выражение, мы получаем окончательный ответ:
\[\sin(a) = \frac{{\sqrt{62}}}{9}\]