Как найти корни уравнения X3+30x2+300x+1008=0?

Давайте начнем с решения данного уравнения.

Мы имеем уравнение третьей степени \(X^3 + 30X^2 + 300X + 1008 = 0\). Как вы могли заметить, это кубическое уравнение, которое можно решить с помощью различных методов. Один из таких методов - это метод Кардано.

1. Сначала проведем замену переменной для упрощения уравнения. Введем новую переменную \(Y = X + \frac{10}{3}\). Такая замена переменной позволит нам избавиться от слагаемого \(30X^2\) в исходном уравнении.

2. Подставим новую переменную в уравнение и произведем необходимые вычисления:
\[(Y - \frac{10}{3})^3 + 30(Y - \frac{10}{3})^2 + 300(Y - \frac{10}{3}) + 1008 = 0\]

3. Упростим это уравнение и приведем его к более компактному виду:
\[Y^3 + \frac{820}{3}Y - \frac{3100}{9} = 0\]

4. Перепишем это уравнение в виде кубического уравнения:
\[Y^3 + Py + Q = 0\]

5. Здесь \(P = \frac{820}{3}\) и \(Q = -\frac{3100}{9}\).

6. Теперь воспользуемся методом Кардано для решения этого уравнения.

6.1 Вычислим значение дискриминанта:
\[D = (\frac{Q}{2})^2 + (\frac{P}{3})^3 = (\frac{-3100}{18})^2 + (\frac{820}{9})^3\]

6.2. Подставим полученный D обратно в уравнение и проделаем необходимые вычисления, чтобы определить значения переменных \(S\) и \(T\):

\[S = \sqrt[3]{-\frac{Q}{2} + \sqrt{D}}\]
\[T = \sqrt[3]{-\frac{Q}{2} - \sqrt{D}}\]

Обратите внимание, что знак корня берется от значения \(D\).

6.3. Теперь, используя значения \(S\) и \(T\), получим корни:

\[Y_1 = S + T - \frac{P}{3}\]
\[Y_2 = -\frac{1}{2}(S + T) - \frac{P}{3} + \frac{i\sqrt{3}}{2}(S - T)\]
\[Y_3 = -\frac{1}{2}(S + T) - \frac{P}{3} - \frac{i\sqrt{3}}{2}(S - T)\]

7. Теперь перейдем от переменной \(Y\) обратно к переменной \(X\) с помощью обратной замены переменной \(X = Y - \frac{10}{3}\):

\[X_1 = Y_1 - \frac{10}{3}\]
\[X_2 = Y_2 - \frac{10}{3}\]
\[X_3 = Y_3 - \frac{10}{3}\]

Итак, мы получили корни уравнения \(X^3 + 30X^2 + 300X + 1008 = 0\):

\[X_1 = Y_1 - \frac{10}{3}\]
\[X_2 = Y_2 - \frac{10}{3}\]
\[X_3 = Y_3 - \frac{10}{3}\]

Где \(Y_1, Y_2, Y_3\) найдены с помощью метода Кардано. Подставив числа вместо \(X_1, X_2, X_3\), вы получите корни уравнения.