Какова высота, на которой сила притяжения, действующая на тело, будет в 8 раз слабее, чем на поверхности Земли? Примите

Чтобы найти высоту, на которой сила притяжения будет в 8 раз слабее, чем на поверхности Земли, мы можем воспользоваться законом всемирного тяготения, который гласит, что сила притяжения между двумя объектами пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Мы можем использовать следующую формулу для рассчета силы притяжения:

\[ F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}} \]

где \( F \) - сила притяжения,
\( G \) - гравитационная постоянная (примерное значение: \( 6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 \, \text{кг}^{-1} \, \text{с}^{-2} \)),
\( m_1 \) и \( m_2 \) - массы двух объектов,
\( r \) - расстояние между объектами.

В данной задаче один из объектов - тело, для которого мы хотим найти высоту, а второй объект - Земля. Так как масса тела много меньше массы Земли, мы можем считать, что масса Земли остается постоянной и равной массе Земли.

Пусть \( m \) - масса тела, \( R \) - радиус Земли (6400 км), \( h \) - высота, на которой мы хотим найти силу притяжения.

Мы хотим, чтобы сила притяжения на этой высоте была в 8 раз слабее, чем на поверхности Земли. Мы можем записать это условие следующим образом:

\[ \frac{{G \cdot m \cdot M}}{{(R + h)^2}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{{G \cdot m \cdot M}}{{R^2}} \]

где \( M \) - масса Земли. Масса Земли и масса тела сокращаются в этом уравнении.

Мы можем решить это уравнение и найти высоту. Приведем его к более простой форме:

\[ (R + h)^2 = 8 \cdot R^2 \]

Раскроем квадрат на левой стороне уравнения:

\[ R^2 + 2Rh + h^2 = 8 \cdot R^2 \]

Перенесем все члены с \( R^2 \) на одну сторону уравнения:

\[ h^2 + 2Rh - 7 \cdot R^2 = 0 \]

Данное квадратное уравнение можно решить с использованием формулы дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac \]
\[ h_{1,2} = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}} \]

В данном случае \( a = 1 \), \( b = 2R \), \( c = -7R^2 \).

Рассчитаем дискриминант:

\[ D = (2R)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7R^2) \]
\[ D = 4R^2 + 28R^2 \]
\[ D = 32R^2 \]

Решим квадратное уравнение, подставив значения \( a \), \( b \), \( c \) и \( D \):

\[ h_{1,2} = \frac{{-2R \pm \sqrt{32R^2}}}{{2 \cdot 1}} \]
\[ h_{1,2} = -R \pm \sqrt{8R^2} \]
\[ h_{1,2} = -R \pm 2R\sqrt{2} \]

Так как мы ищем только положительное значение высоты, мы можем выбрать следующее решение:

\[ h = -R + 2R\sqrt{2} \]

Подставим значение радиуса Земли:

\[ h = -6400 \, \text{км} + 2 \cdot 6400 \, \text{км} \cdot \sqrt{2} \]

Вычислим это выражение:

\[ h \approx -6400 \, \text{км} + 2 \cdot 6400 \, \text{км} \cdot 1.414 \approx 12642 \, \text{км} \]

Округляем это значение до целого числа, и получаем:

Ответ: Высота, на которой сила притяжения будет в 8 раз слабее, чем на поверхности Земли, около 12642 км.