Какова высота медного цилиндра того же сечения, чтобы оказывать на стол такое же давление, как алюминиевый цилиндр?

Чтобы решить данную задачу, мы можем воспользоваться формулой для давления \(P = \frac{F}{S}\), где \(P\) - давление, \(F\) - сила, действующая на поверхность, и \(S\) - площадь поверхности.

Поскольку нам известно, что давление, создаваемое двумя цилиндрами, должно быть одинаковым, можем записать соотношение давлений следующим образом:

\[
\frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2}
\]

где индексы 1 и 2 обозначают соответствующие параметры медного и алюминиевого цилиндров.

Поскольку мы хотим найти высоту медного цилиндра, то нас интересует площадь его поверхности \(S_1\), которую мы можем выразить через характеристики цилиндра. Площадь поверхности цилиндра определяется формулой \(S = 2\pi r h\), где \(r\) - радиус основания цилиндра, а \(h\) - его высота.

С учетом этих формул и заданного условия о равенстве давлений, получаем следующие выражения:

\[
\frac{F_1}{2\pi r_1 h_1} = \frac{F_2}{2\pi r_2 h_2}
\]

где \(r_1\) и \(r_2\) - радиусы оснований медного и алюминиевого цилиндров соответственно, \(h_1\) - высота искомого медного цилиндра, а \(h_2\) - высота алюминиевого цилиндра.

Мы знаем, что металлические цилиндры имеют одно и то же сечение, поэтому радиусы их оснований будут равными:

\(r_1 = r_2 = r\)

Возвращаясь к условию задачи, нас интересует высота медного цилиндра \(h_1\). Подставим полученные равенства в нашу формулу:

\[
\frac{F_1}{2\pi r h_1} = \frac{F_2}{2\pi r h_2}
\]

Теперь можем сократить на общий множитель \(2\pi r\):

\[
\frac{F_1}{h_1} = \frac{F_2}{h_2}
\]

Поскольку нас интересует высота медного цилиндра, можем выразить ее через известные величины:

\[
h_1 = \frac{F_1 \cdot h_2}{F_2}
\]

Теперь осталось только подставить известные значения и выполнить необходимые вычисления:

\[
h_1 = \frac{F_1 \cdot h_2}{F_2} \approx \frac{10^3 \cdot 12}{7.5 \cdot 10^2} \approx 16 \, \text{см}
\]

Таким образом, высота медного цилиндра должна быть около 16 сантиметров.