Какова высота данной правильной четырёхугольной призмы, если её диагональ равна √131 и периметр основания составляет

Обозначим периметр основания призмы через \(P\), а высоту призмы через \(h\).

По условию задачи известно, что периметр основания равен заданной величине \(P\). Для правильной четырехугольной призмы периметр основания можно найти по формуле:
\[P = 4 \cdot a,\]
где \(a\) - длина стороны основания призмы.

Чтобы найти высоту призмы, нам понадобится знание формулы, связывающей площадь основания призмы (\(S_{\text{осн}}\)), её высоту (\(h\)) и её объем (\(V\)):
\[V = S_{\text{осн}} \cdot h.\]

Если призма правильная, то её основание - равносторонний четырехугольник. Значит, чтобы найти периметр основания, можно разделить его на 4 равные стороны:
\[a = \frac{P}{4}.\]

Теперь нам нужно найти площадь основания призмы. Так как у призмы равностороннее основание, то площадь основания может быть найдена по формуле:
\[S_{\text{осн}} = \frac{{a^2 \cdot \sqrt{3}}}{4}.\]

Теперь мы можем найти высоту \(h\) призмы, подставив значения в формулу для объема:
\[V = \left( \frac{{a^2 \cdot \sqrt{3}}}{4} \right) \cdot h.\]

Известно также, что длина диагонали призмы равна \(\sqrt{131}\). Так как призма правильная, длина диагонали можно найти по формуле:
\[d = \sqrt{2} \cdot a,\]
где \(d\) - длина диагонали основания призмы.

Мы знаем, что \(d = \sqrt{131}\), поэтому мы можем найти длину стороны основания \(a\) с помощью данной формулы:
\[a = \frac{d}{\sqrt{2}}.\]

Подставим это значение для \(a\) в формулу для высоты призмы \(V\) и заменим \(S_{\text{осн}}\) на соответствующее значение:
\[V = \left( \frac{{\left( \frac{d}{\sqrt{2}} \right)^2 \cdot \sqrt{3}}}{4} \right) \cdot h.\]
Далее посчитаем объем призмы:
\[V = \left( \frac{{d^2 \cdot \sqrt{3}}}{8} \right) \cdot h.\]

Теперь у нас есть формула для объема призмы в зависимости от её высоты \(h\), которую мы можем использовать для решения задачи. Таким образом, нам нужно решить уравнение:
\[\left( \frac{{d^2 \cdot \sqrt{3}}}{8} \right) \cdot h = V.\]

Из условия задачи нам необходимо найти высоту призмы, поэтому перепишем уравнение:
\[h = \frac{{V}}{{\left( \frac{{d^2 \cdot \sqrt{3}}}{8} \right)}}.\]
Подставим теперь известные значения длины диагонали \(d\) и объема призмы \(V\):
\[h = \frac{{V}}{{\left( \frac{{(\sqrt{131})^2 \cdot \sqrt{3}}}{8} \right)}}.\]
Упростим это выражение и вычислим ответ.