1) Каково значение производной функции f в точке x=1, если f(x)=log0.5(2+x)^2 и необходимо его сравнить с нулем?

1) Для нахождения значения производной функции \(f\) в точке \(x=1\) будем использовать правило дифференцирования сложной функции, так как \(f(x)\) представлена в виде функции, содержащей внутри себя функцию \(g(x) = (2+x)^2\) в основании логарифма.

Шаг 1: Определим функцию \(g(x)\). Это будет функция, внутри логарифма в исходной функции \(f(x)\): \(g(x) = (2+x)^2\).

Шаг 2: Найдем производную функции \(g(x)\) по \(x\). Применим правило дифференцирования сложной функции:
\[
\frac{d}{dx}[(2+x)^2] = 2(2+x)^{2-1} \cdot \frac{d}{dx}(2+x) = 2(2+x) \cdot 1 = 2(2+x)
\]

Шаг 3: Теперь можем вычислить производную функции \(f(x)\), используя найденное значение производной для функции \(g(x)\). Применим правило дифференцирования логарифмической функции:
\[
f"(x) = \frac{1}{\ln(0.5)} \cdot \frac{1}{(2+x)^2} \cdot 2(2+x) = \frac{2(2+x)}{\ln(0.5)(2+x)^2}
\]

Шаг 4: Найдем значение производной в точке \(x=1\), подставив \(x=1\) в полученное выражение:
\[
f"(1) = \frac{2(2+1)}{\ln(0.5)(2+1)^2} = \frac{6}{\ln(0.5) \cdot 9}
\]

Теперь, чтобы сравнить значение производной функции \(f\) в точке \(x=1\) с нулем, нам нужно просто проверить равенство нулю значения \(f"(1)\):
\[
f"(1) = \frac{6}{\ln(0.5) \cdot 9} \stackrel{?}{=} 0
\]

2) Для нахождения значения производной функции \(f\) в точке \(x=4\) также будем использовать правило дифференцирования сложной функции, так как \(f(x)\) представлена в виде функции, содержащей в основании степени функцию \(h(x) = 0.2^{x-3}\).

Шаг 1: Определим функцию \(h(x)\). Это будет функция, в основании степени в исходной функции \(f(x)\): \(h(x) = 0.2^{x-3}\).

Шаг 2: Найдем производную функции \(h(x)\) по \(x\). Применим правило дифференцирования степенной функции:
\[
\frac{d}{dx}[0.2^{x-3}] = \ln(0.2) \cdot 0.2^{x-3} \cdot \frac{d}{dx}(x-3) = \ln(0.2) \cdot 0.2^{x-3}
\]

Шаг 3: Теперь можем вычислить производную функции \(f(x)\), используя найденное значение производной для функции \(h(x)\). Применим правило дифференцирования степенной функции еще раз:
\[
f"(x) = \frac{1}{\ln(0.2)} \cdot \ln(0.2) \cdot 0.2^{x-3} = 0.2^{x-3}
\]

Шаг 4: Найдем значение производной в точке \(x=4\), подставив \(x=4\) в полученное выражение:
\[
f"(4) = 0.2^{4-3} = 0.2
\]

Теперь, чтобы сравнить значение производной функции \(f\) в точке \(x=4\) с нулем, нам нужно просто проверить равенство нулю значения \(f"(4)\):
\[
f"(4) = 0.2 \stackrel{?}{=} 0
\]