Какова вероятность выполнения плана как минимум шести предприятиями в конце месяца, если каждое из восьми предприятий

Чтобы найти вероятность выполнения плана как минимум шести предприятиями, мы можем использовать комбинаторику и вероятность отдельного предприятия. Перед тем как продолжить с решением, давайте поясним некоторые понятия.

В данной задаче у нас есть восемь предприятий отрасли, и каждое предприятие может выполнить план с вероятностью 0.9. Вероятность выполния плана предприятием можно рассматривать как вероятность успеха в эксперименте Бернулли. В нашем случае успех - это выполнение плана, а неудача - его невыполнение.

Мы хотим найти вероятность того, что как минимум шесть предприятий выполнит план. Для этого мы можем использовать биномиальное распределение, так как нам нужно найти вероятность достижения определенного количества успехов (выполнение плана) при заданном количестве испытаний (предприятий) и вероятности успеха в одном испытании (вероятность выполнения плана предприятия).

Формула для биномиального распределения имеет вид:
\[P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]
где:
- \(P(X=k)\) - вероятность того, что произойдет \(k\) успехов (выполнение плана);
- \(n\) - общее количество испытаний (предприятий);
- \(k\) - количество успехов (предприятий, которые выполнили план);
- \(p\) - вероятность успеха в одном испытании (вероятность выполнения плана предприятием);
- \(\binom{n}{k}\) - количество комбинаций выбора \(k\) предприятий из \(n\) предприятий.

В нашем случае, у нас есть 8 предприятий (\(n=8\)), и каждое из них выполнило план с вероятностью 0.9 (\(p=0.9\)). Мы хотим найти вероятность того, что как минимум 6 предприятий выполнили план. Значит, нам нужно найти вероятность, что выполнение плана произошло 6, 7 или 8 раз, то есть сумму вероятностей для \(k=6,7,8\).

Рассчитаем вероятность для каждого значения \(k\) и сложим их:
\begin{align*}
P(X \geq 6) &= P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) \\
&= \binom{8}{6} \cdot 0.9^6 \cdot (1-0.9)^{8-6} + \binom{8}{7} \cdot 0.9^7 \cdot (1-0.9)^{8-7} + \binom{8}{8} \cdot 0.9^8 \cdot (1-0.9)^{8-8}
\end{align*}

Рассчитаем каждую отдельную вероятность:
\begin{align*}
\binom{8}{6} \cdot 0.9^6 \cdot (1-0.9)^{8-6} &= 28 \cdot 0.9^6 \cdot 0.1^2 \\
\binom{8}{7} \cdot 0.9^7 \cdot (1-0.9)^{8-7} &= 8 \cdot 0.9^7 \cdot 0.1^1 \\
\binom{8}{8} \cdot 0.9^8 \cdot (1-0.9)^{8-8} &= 1 \cdot 0.9^8 \cdot 0.1^0 = 0.9^8
\end{align*}

Теперь сложим полученные значения:
\[P(X \geq 6) = 28 \cdot 0.9^6 \cdot 0.1^2 + 8 \cdot 0.9^7 \cdot 0.1^1 + 0.9^8\]

Найдем значение этого выражения, чтобы найти искомую вероятность.