Какова вероятность того, что за год в гирлянде перегорит более одной, но не более четырех лампочек?

Чтобы решить данную задачу, мы должны знать несколько важных фактов о гирлянде:
1) Вероятность перегорания одной лампочки за год равна \(p\).
2) Количество лампочек в гирлянде равно \(n\).
3) Перегорание каждой лампочки является независимым событием.

Приступим к решению:
Для того чтобы узнать вероятность того, что более одной, но не более четырех лампочек перегорит за год, мы можем использовать комбинаторику и рассмотреть все возможные варианты количества перегоревших лампочек.

1) Исключаем случай, когда перегорает меньше одной лампочки. Такой вариант невозможен, так как в задаче указано, что должно быть более одной перегоревшей лампочки.

2) Рассмотрим случай, когда перегорает ровно одна лампочка.
Вероятность такого события будет равна \(P_1 = C(n, 1) \cdot p \cdot (1-p)^{n-1}\), где \(C(n, 1)\) - количество способов выбрать одну лампочку, \(p\) - вероятность перегорания одной лампочки, \((1-p)^{n-1}\) - вероятность того, что оставшиеся \(n-1\) лампочек не перегорят.

3) Рассмотрим случай, когда перегорает ровно две лампочки.
Вероятность такого события будет равна \(P_2 = C(n, 2) \cdot p^2 \cdot (1-p)^{n-2}\), где \(C(n, 2)\) - количество способов выбрать две лампочки, \(p^2\) - вероятность перегорания двух лампочек, \((1-p)^{n-2}\) - вероятность того, что оставшиеся \(n-2\) лампочки не перегорят.

4) Рассмотрим случай, когда перегорает ровно три лампочки.
Вероятность такого события будет равна \(P_3 = C(n, 3) \cdot p^3 \cdot (1-p)^{n-3}\), где \(C(n, 3)\) - количество способов выбрать три лампочки, \(p^3\) - вероятность перегорания трех лампочек, \((1-p)^{n-3}\) - вероятность того, что оставшиеся \(n-3\) лампочки не перегорят.

5) Рассмотрим случай, когда перегорает ровно четыре лампочки.
Вероятность такого события будет равна \(P_4 = C(n, 4) \cdot p^4 \cdot (1-p)^{n-4}\), где \(C(n, 4)\) - количество способов выбрать четыре лампочки, \(p^4\) - вероятность перегорания четырех лампочек, \((1-p)^{n-4}\) - вероятность того, что оставшиеся \(n-4\) лампочки не перегорят.

Таким образом, общая вероятность будет равна сумме всех этих вероятностей:
\[P = P_1 + P_2 + P_3 + P_4\]

Теперь у нас есть формула, которую мы можем использовать для расчета вероятности того, что за год в гирлянде перегорит более одной, но не более четырех лампочек. Вам осталось только подставить значения \(p\) и \(n\) и произвести вычисления.