Какова вероятность того, что все 4 наудачу вынутых галстуков будут одного цвета, если в коробке лежат 30 галстуков

Чтобы рассчитать вероятность того, что все 4 наудачу вынутых галстука будут одного цвета, нам нужно сначала определить количества исходов, благоприятствующих этому событию, и общее количество возможных исходов.

Итак, мы знаем, что в коробке находится 30 галстуков, включая 11 красных и остальные белые. Мы хотим вытащить 4 галстука одного цвета. Рассмотрим два случая: когда мы вытаскиваем 4 красных галстука и когда мы вытаскиваем 4 белых галстука.

Сначала рассмотрим случай, когда мы вытаскиваем 4 красных галстука. Вероятность вытащить первый красный галстук равна 11 красным галстукам из 30 галстуков, что равняется \(\frac{11}{30}\). Затем, чтобы вытащить второй галстук, у нас остается 10 красных галстуков из 29 оставшихся в коробке. Поэтому вероятность вытащить второй красный галстук составляет \(\frac{10}{29}\). Аналогично, вероятность вытащить третий и четвертый красные галстуки составляет \(\frac{9}{28}\) и \(\frac{8}{27}\) соответственно.

Теперь рассмотрим случай, когда мы вытаскиваем 4 белых галстука. Вероятность вытащить первый белый галстук равна количеству белых галстуков, то есть 30 - 11 = 19, деленному на общее количество галстуков и равна \(\frac{19}{30}\). Вероятность вытащить второй, третий и четвертый белые галстуки будет постепенно уменьшаться на единицу в числителе и на единицу в знаменателе.

Теперь скомбинируем вероятности этих двух случаев. Так как мы хотим, чтобы все 4 галстука были одного цвета, мы можем сложить вероятности вытащить 4 красных галстука и вероятности вытащить 4 белых галстуков:

\[P(\text{один цвет}) = P(\text{4 красных}) + P(\text{4 белых})\]

\[P(\text{один цвет}) = \left(\frac{11}{30}\right) \times \left(\frac{10}{29}\right) \times \left(\frac{9}{28}\right) \times \left(\frac{8}{27}\right) + \left(\frac{19}{30}\right) \times \left(\frac{18}{29}\right) \times \left(\frac{17}{28}\right) \times \left(\frac{16}{27}\right)\]

Выполним вычисления:

\[P(\text{один цвет}) = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 + 19 \times 18 \times 17 \times 16}{30 \times 29 \times 28 \times 27}\]

\[P(\text{один цвет}) = \frac{7920 + 8736}{657,720}\]

\[P(\text{один цвет}) = \frac{16,656}{657,720}\]

Это дает нам значение вероятности до сотых:

\[P(\text{один цвет}) \approx 0.02532\]

Таким образом, вероятность того, что все 4 наудачу вынутых галстука будут одного цвета, округленная до сотых, равна примерно 0.02532.