Какова вероятность того, что учащийся Б правильно решит 10 или 11 задач на экзамене по математике?

Чтобы найти вероятность того, что ученик Б правильно решит 10 или 11 задач на экзамене по математике, нам необходимо знать следующие данные:

1. Всего задач на экзамене \(n\).
2. Вероятность того, что ученик Б правильно решит одну задачу \(p\).

Используем биномиальное распределение для решения этой задачи. Формула для нахождения вероятности биномиального распределения выглядит следующим образом:

\[P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n-k}\]

Где:
- \(P(X = k)\) - вероятность того, что ученик решит \(k\) задач правильно,
- \(C(n, k)\) - число сочетаний из \(n\) элементов по \(k\) (также называется биномиальным коэффициентом и рассчитывается по формуле \(C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\)),
- \(p\) - вероятность правильного решения одной задачи,
- \(k\) - количество правильно решенных задач,
- \(n\) - общее количество задач на экзамене.

Теперь решим задачу. Предположим, что на экзамене по математике есть 20 задач (\(n = 20\)), и ученик Б имеет вероятность правильного решения одной задачи равной 0.7 (\(p = 0.7\)).

Для того чтобы найти вероятность того, что ученик Б правильно решит 10 или 11 задач, нам необходимо сложить вероятности для \(k = 10\) и \(k = 11\):

\[P(X = 10) + P(X = 11) = C(20, 10) \cdot 0.7^{10} \cdot (1 - 0.7)^{20-10} + C(20, 11) \cdot 0.7^{11} \cdot (1 - 0.7)^{20-11}\]

Теперь вычислим значения:

\[
P(X = 10) = C(20, 10) \cdot 0.7^{10} \cdot (1 - 0.7)^{20-10} = 184,756 \cdot 0.0282475 \cdot 0.7^{10} \approx 0.233
\]

\[
P(X = 11) = C(20, 11) \cdot 0.7^{11} \cdot (1 - 0.7)^{20-11} = 167,960 \cdot 0.0282475 \cdot 0.7^{11} \approx 0.082
\]

Теперь сложим эти два значения:

\[
P(X = 10) + P(X = 11) \approx 0.233 + 0.082 \approx 0.315
\]

Таким образом, вероятность того, что ученик Б правильно решит 10 или 11 задач на экзамене по математике составляет примерно 0.315 или 31.5%.