Какова вероятность того, что три участника розыгрыша получат все путевки на Средиземное море, если разыгрываются

Давайте разберем эту задачу пошагово.

Шаг 1: Определите общее количество возможных исходов
У нас есть 12 путевок в общей сложности, поэтому общее количество возможных исходов - это количество способов выбрать 3 путевки из 12. Это можно выразить с помощью комбинаторики, используя формулу числа сочетаний:

\[
C(n, k) = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}
\]

Где n - общее количество объектов (в данном случае - 12), а k - количество объектов, которые мы выбираем (в данном случае - 3).

Подставим значения в формулу:

\[
C(12, 3) = \frac{{12!}}{{3!(12-3)!}} = \frac{{12!}}{{3! \cdot 9!}}
\]

Шаг 2: Определите количество благоприятных исходов
В данной задаче нам нужно, чтобы все 3 путевки были на Средиземном море. У нас есть 7 путевок на Средиземное море, поэтому количество благоприятных исходов - это количество способов выбрать 3 путевки из 7. Снова используем формулу числа сочетаний:

\[
C(7, 3) = \frac{{7!}}{{3!(7-3)!}}
\]

Подставим значения в формулу:

\[
C(7, 3) = \frac{{7!}}{{3! \cdot 4!}}
\]

Шаг 3: Рассчитайте вероятность
Вероятность успеха (в данном случае, получить все путевки на Средиземное море) можно рассчитать, разделив количество благоприятных исходов на общее количество возможных исходов:

\[
P = \frac{{\text{{количество благоприятных исходов}}}}{{\text{{общее количество возможных исходов}}}}
\]

\[
P = \frac{{C(7, 3)}}{{C(12, 3)}}
\]

Подставим значения из предыдущих шагов:

\[
P = \frac{{\frac{{7!}}{{3! \cdot 4!}}}}{{\frac{{12!}}{{3! \cdot 9!}}}}
\]

Упрощаем выражение:

\[
P = \frac{{7! \cdot 3! \cdot 9!}}{{3! \cdot 4! \cdot 12!}}
\]

\[
P = \frac{{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{3! \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}}
\]

Многие элементы сокращаются:

\[
P = \frac{{7 \cdot 6 \cdot 5}}{{12 \cdot 11 \cdot 10}}
\]

\[
P = \frac{{210}}{{1320}}
\]

Теперь можем округлить ответ до трех десятичных знаков:

\[
P \approx 0,159
\]

Итак, вероятность того, что три участника розыгрыша получат все путевки на Средиземное море, округляется до 0,159.