Какова вероятность того, что студент сдаст: а) ни одного экзамена? б) только один экзамен? в) не менее двух экзаменов?

Для решения этой задачи нам необходимо знать вероятности сдачи каждого экзамена студентом. Пусть вероятность успешной сдачи первого экзамена равна \(p_1\), второго экзамена равна \(p_2\) и третьего экзамена равна \(p_3\). Поскольку студент может сдать или не сдать каждый из экзаменов, у нас есть 2 возможных исхода для каждого экзамена.

а) Чтобы студент не сдал ни одного экзамена, он должен не сдать ни первый, ни второй, ни третий экзамен. Вероятность несдачи каждого экзамена равна \(1 - p_1\), \(1 - p_2\), \(1 - p_3\) соответственно. Таким образом, вероятность того, что студент не сдаст ни одного экзамена, равна произведению вероятностей несдачи каждого из них:
\[P(\text{ни одного экзамена}) = (1 - p_1) \cdot (1 - p_2) \cdot (1 - p_3)\]

б) Чтобы студент сдал только один экзамен, он должен сдать один из трех экзаменов, а остальные два - не сдать. Таким образом, вероятность сдать первый экзамен и не сдать второй и третий будет равна \(p_1 \cdot (1 - p_2) \cdot (1 - p_3)\), для сдачи второго экзамена и несдачи первого и третьего - \(p_2 \cdot (1 - p_1) \cdot (1 - p_3)\), для сдачи третьего экзамена и несдачи первого и второго - \(p_3 \cdot (1 - p_1) \cdot (1 - p_2)\). Общая вероятность сдать только один экзамен будет суммой этих вероятностей:
\[P(\text{только один экзамен}) = p_1 \cdot (1 - p_2) \cdot (1 - p_3) + p_2 \cdot (1 - p_1) \cdot (1 - p_3) + p_3 \cdot (1 - p_1) \cdot (1 - p_2)\]

в) Чтобы студент сдал не менее двух экзаменов, он должен сдать либо все три экзамена, либо сдать два и не сдать один. Вероятность сдать все три экзамена будет равна произведению вероятностей сдачи каждого из экзаменов: \(p_1 \cdot p_2 \cdot p_3\). Вероятность сдать два экзамена и не сдать один можно посчитать для каждого из экзаменов отдельно и затем сложить. Например, вероятность сдать первый и второй экзамены, но не сдать третий - \(p_1 \cdot p_2 \cdot (1 - p_3)\). Аналогично для остальных комбинаций. Общая вероятность сдать не менее двух экзаменов будет равна сумме всех этих вероятностей:
\[P(\text{не менее двух экзаменов}) = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 + p_1 \cdot p_2 \cdot (1 - p_3) + p_1 \cdot (1 - p_2) \cdot p_3 + (1 - p_1) \cdot p_2 \cdot p_3\]

г) Чтобы студент сдал все три экзамена, он должен сдать каждый из них. Вероятность сдачи трех независимых событий равна произведению их вероятностей: \(P(\text{сдать все три экзамена}) = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3\).

Таким образом, мы получили шаг за шагом решение задачи и выражения для вероятностей сдачи различного количества экзаменов. Не забудьте подставить соответствующие значения вероятностей каждого экзамена для получения конкретных численных ответов.