Какова вероятность того, что среди 400 случайно выбранных шестерен из массового производства будет 50 бракованных?

Для решения этой задачи мы будем использовать понятие комбинаторики и вероятности.

Первым шагом в решении этой задачи будет вычисление вероятности получить одну бракованную шестерню. Предположим, что в производстве есть \( N \) шестерен, и из них \( K \) бракованных. Тогда вероятность получить бракованную шестерню будет равна отношению числа бракованных шестерен \( K \) к общему числу шестерен \( N \):

\[ P(\text{бракованная}) = \frac{K}{N} \]

Теперь мы можем использовать эту вероятность для решения нашей задачи. Мы должны выбрать 50 бракованных шестерен из 400 случайно выбранных. По формуле сочетаний, число способов выбрать \( k \) элементов из множества из \( n \) элементов равно:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где \( n! \) обозначает факториал числа \( n \).

Используя эту формулу, мы можем вычислить вероятность того, что среди 400 шестерен будет 50 бракованных. Вероятность получить 50 бракованных шестерен из 400 будет равна:

\[ P(50 \text{ бракованных из 400}) = C(400, 50) \cdot \left(\frac{K}{N}\right)^{50} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right)^{400-50} \]

Здесь \( C(400, 50) \) - число способов выбрать 50 шестерен из 400, \(\left(\frac{K}{N}\right)^{50}\) - вероятность получить 50 бракованных шестерен из 50 выбранных, а \(\left(1 - \frac{K}{N}\right)^{400-50}\) - вероятность получить \(400-50 = 350\) небракованных шестерен из \(400-50\) выбранных.

Обоснование: Мы используем формулу сочетаний для вычисления числа способов выбрать 50 бракованных шестерен из 400 и учитываем вероятность получить каждую бракованную шестерню и каждую небракованную шестерню, используя вероятности получить одну бракованную и небракованную шестерню.

Для конкретных значений \( N \) и \( K \) в вашей задаче, вы можете подставить их в эту формулу, чтобы получить численный ответ на задачу.