Какова вероятность того, что случайно выбранная точка, входит в окружность с диаметром, вписанную в квадрат со стороной

Для решения этой задачи, давайте рассмотрим квадрат со стороной \(a\). Чтобы понять вероятность выбора случайной точки внутри вписанной окружности, нам необходимо сначала понять, какие точки могут попасть в нее, а затем сравнить количество таких точек с общим количеством точек внутри квадрата.

Рассмотрим окружность с диаметром, равным одной из сторон квадрата. Для определенности, пусть сторона квадрата равна 1.

Известно, что диаметр окружности делит ее на две равные части, поэтому радиус окружности будет равен \(r = \frac{1}{2}\).

Теперь давайте рассмотрим одну из четвертей вписанной окружности (например, верхнюю правую четверть). Эта четверть ограничена вертикальной и горизонтальной линиями, проходящими через точку пересечения окружности и стороны квадрата.

Мы можем заметить, что любая точка, выбранная в этой четверти, будет удовлетворять двум условиям:

1. Ее x-координата должна находиться между 0 и \(r\) (так как мы рассматриваем только верхнюю правую четверть).
2. Ее y-координата должна находиться между \(r\) и 1 (так как координата y должна быть больше, чем координата x, чтобы точка находилась в верхней половине окружности).

Мы можем представить это графически следующим образом:

\[
\begin{{array}}{{c}}
| \\
| \\
| \\
| \\
| \\
| \\
| \\
| \\
| \\
| \\
| \\
| \\
| \\
| \\
| \\
| \\
| \\
| \\
|\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \\
0 \qquad r \qquad 1
\end{{array}}
\]

Чтобы вычислить площадь верхней правой четверти окружности, мы можем вычислить площадь треугольника, образованного отрезками вертикальной, горизонтальной линий и дугой окружности. Площадь этого треугольника будет равна половине площади прямоугольного треугольника. Площадь этого прямоугольного треугольника будет равна произведению его катетов, и каждый из них равен \(r\) (потому что длина стороны квадрата равна 1).

Таким образом, площадь верхней правой части окружности равна \(\frac{1}{2} \cdot r \cdot r = \frac{1}{8}\).

Поскольку вся окружность состоит из четырех одинаковых частей, площадь всей окружности будет равна \(\frac{4}{8} = \frac{1}{2}\).

Теперь, чтобы найти вероятность выбора случайной точки, попадающей внутрь окружности, мы должны сравнить площадь окружности с площадью квадрата.

Площадь квадрата равна стороне квадрата, возведенной в квадрат, то есть \(1 \cdot 1 = 1\).

Итак, вероятность выбора случайной точки, попадающей внутрь окружности, равна отношению площади окружности к площади квадрата:

\[
P = \frac{{\frac{1}{2}}}{{1}} = \frac{1}{2}
\]

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка будет находиться внутри окружности с диаметром, вписанной в квадрат со стороной 1, равна \(\frac{1}{2}\).