Какова вероятность того, что случайная величина Z, представляющая количество попаданий, будет равна 0, 1, 2 или

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо использовать понятие биномиального распределения, так как у нас есть несколько независимых испытаний с двумя возможными исходами (попадание или промах) и известной вероятностью успеха (вероятность попадания).

В данном случае, мы имеем три выстрела, и вероятность попадания в каждом выстреле составляет 70% или 0.7 (вероятность промаха составит 30% или 0.3). Мы хотим найти вероятность того, что случайная величина Z (количество попаданий) будет равна 0, 1, 2 или 3.

Для этого мы можем использовать следующую формулу биномиального распределения:

\(P(Z=k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\),

где \(C(n, k)\) - биномиальный коэффициент, который определяется как \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\), \(p\) - вероятность успеха (вероятность попадания), \(k\) - количество попаданий, \(n\) - общее количество испытаний, в данном случае, три выстрела.

Теперь мы можем рассчитать вероятности для каждого значения \(k\) от 0 до 3.

Для \(k=0\):
\(P(Z=0) = C(3, 0) \cdot 0.7^0 \cdot (1-0.7)^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0.027 = 0.027\).

Для \(k=1\):
\(P(Z=1) = C(3, 1) \cdot 0.7^1 \cdot (1-0.7)^2 = 3 \cdot 0.7 \cdot 0.09 = 0.189\).

Для \(k=2\):
\(P(Z=2) = C(3, 2) \cdot 0.7^2 \cdot (1-0.7)^1 = 3 \cdot 0.49 \cdot 0.3 = 0.441\).

Для \(k=3\):
\(P(Z=3) = C(3, 3) \cdot 0.7^3 \cdot (1-0.7)^0 = 1 \cdot 0.343 \cdot 1 = 0.343\).

Таким образом, вероятность того, что случайная величина Z будет равна 0, 1, 2 или 3 при трех выстрелах с вероятностью попадания 70%, составляет:

\(P(Z=0) = 0.027\),
\(P(Z=1) = 0.189\),
\(P(Z=2) = 0.441\),
\(P(Z=3) = 0.343\).