1) Given: 1) u(x0)=4 and u (x0)=5; 2) v(x0)=5 and v (x0)=3; 3) f(x)=u(x) v(x) Calculate the value of f (x0): 2) Given

Хорошо, начнем с первой задачи.

1) У нас дано: 1) \(u(x_0) = 4\) и \(u""(x_0) = 5\); 2) \(v(x_0) = 5\) и \(v""(x_0) = 3\); 3) \(f(x) = u(x) \cdot v(x)\). Нам нужно вычислить значение \(f""(x_0)\).

Для начала, нам потребуется найти первую и вторую производные функций \(u(x)\) и \(v(x)\), чтобы затем использовать их для нахождения производной функции \(f(x)\).

Для функции \(u(x)\):
Первая производная, \(u"(x)\), будет являться производной константы, поэтому она равна нулю.
Вторая производная, \(u""(x)\), задана как 5.

Для функции \(v(x)\):
Первая производная, \(v"(x)\), будет заключать в себе производную функции \(4x^5+9+4\). Давайте найдем эту производную.
\(v"(x) = \frac{d}{dx}(4x^5+9+4)\).

Найдем производную каждого из слагаемых по отдельности:
\(\frac{d}{dx}(4x^5) = 20x^4\) (используем правило степенной функции, при котором степень умножается на коэффициент, и затем степень уменьшается на 1).
\(\frac{d}{dx}(9) = 0\) (производная константы равна нулю).
\(\frac{d}{dx}(4) = 0\) (производная константы равна нулю).

Таким образом, \(v"(x) = 20x^4\).

Теперь, найдем вторую производную \(v""(x)\) путем вычисления производной функции \(v"(x)\).
\(v""(x) = \frac{d}{dx}(20x^4)\).

Снова найдем производную каждого из слагаемых по отдельности:
\(\frac{d}{dx}(20x^4) = 80x^3\) (применяем такое же правило степенной функции).

Таким образом, \(v""(x) = 80x^3\).

Перейдем к функции \(f(x)\):
Мы знаем, что \(f(x) = u(x) \cdot v(x)\). Мы можем использовать найденные значения производных \(u""(x)\), \(v""(x)\), \(u(x_0)\) и \(v(x_0)\) для нахождения \(f""(x_0)\).

Сначала найдем первую производную: \(f"(x) = u"(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v"(x)\).
В данном случае, \(u"(x)\) равно нулю, как мы выяснили ранее.

Теперь найдем вторую производную: \(f""(x) = u""(x) \cdot v(x) + 2u"(x) \cdot v"(x) + u(x) \cdot v""(x)\).
Подставим значения, которые нам известны:
\(f""(x_0) = 5 \cdot 5 + 2 \cdot 0 \cdot 20x_0^4 + 4 \cdot 80x_0^3\).

Упростим это выражение:
\(f""(x_0) = 25 + 320x_0^3\).

Таким образом, значение \(f""(x_0)\) равно \(25 + 320x_0^3\).

Теперь перейдем ко второй задаче.

2) У нас дана функция \(F(x) = 4x^5+9+4\), и нам нужно вычислить ее производную, \(F"(x)\).

Для этого мы возьмем производную каждого слагаемого функции \(F(x)\) по отдельности:

\(\frac{d}{dx}(4x^5) = 20x^4\) (применяем правило степенной функции).
\(\frac{d}{dx}(9) = 0\) (производная константы равна нулю).
\(\frac{d}{dx}(4) = 0\) (производная константы равна нулю).

Таким образом, \(F"(x) = 20x^4\).

Таким образом, производная функции \(F(x) = 4x^5+9+4\) равна \(F"(x) = 20x^4\).

Дайте знать, если вам нужно еще что-то.