Какова вероятность того, что расстояние от случайно выбранной точки А внутри квадрата со стороной 10 м до его ближайшей

Данная задача о вероятности требует вычисления площади определенной фигуры. Давайте разделим ее на две части для более наглядного решения.

Первая часть: рассмотрим случай, когда точка А находится внутри круга радиусом $r$, где $r$ — расстояние от центра квадрата до его стороны.

Чтобы ответить на вопрос, какова вероятность того, что точка А находится внутри этого круга, необходимо вычислить отношение площадей. Площадь круга радиуса $r$ можно вычислить по формуле $\pi r^2$. Площадь квадрата со стороной 10 м равна ${10}^2$ или 100.

Таким образом, вероятность того, что точка А находится внутри круга, равна отношению площади круга к площади квадрата:

$$P_1=\frac{\pi r^2}{100}$$

Вторая часть: рассмотрим случай, когда точка А находится внутри круга радиусом $R$, где $R$ — расстояние от центра квадрата до его угла. В данном случае требуется найти вероятность того, что расстояние от точки А до ближайшей стороны квадрата составляет не менее $R$.

Получить ответ на этот вопрос можно на основе эйлеровой аппроксимации окружностей. Согласно этой аппроксимации, круг радиусом $R$ можно разделить на 4 сектора, образующих четвёртую часть круга, и четыре равносторонних треугольника со стороной $R$. Таким образом, можно утверждать, что площадь области, в которой расстояние от точки А до ближайшей стороны составляет не менее $R$, равна площади четверти круга минус четыре треугольника.

Площадь четверти круга радиусом $R$ равна $\frac{\pi R^2}{4}$, а площадь одного равностороннего треугольника можно вычислить по формуле $\frac{R^2\sqrt{3}}{4}$. Таким образом, площадь четырех треугольников составляет $4\times \frac{R^2\sqrt{3}}{4}$, то есть $\sqrt{3}{R}^2$.

Площадь области, в которой расстояние от точки А до ближайшей стороны составляет не менее $R$, равна:

$$S=\frac{\pi R^2}{4}-\sqrt{3}{R}^2$$

Вероятность того, что точка А попадет в эту область, равна отношению площади этой области к площади квадрата:

$$P_2=\frac{S}{100}$$

Теперь можем сложить вероятности $P_1$ и $P_2$, чтобы получить итоговую вероятность:

$$P=P_1+P_2$$

Таким образом, мы получим ответ на задачу. Подставьте значения $r$ и $R$, и выполните необходимые вычисления для получения численного результата.