Какова вероятность того, что расстояние от случайно выбранной точки А внутри квадрата со стороной 10 м до его ближайшей

Данная задача о вероятности требует вычисления площади определенной фигуры. Давайте разделим ее на две части для более наглядного решения.

Первая часть: рассмотрим случай, когда точка А находится внутри круга радиусом \(r\), где \(r\) — расстояние от центра квадрата до его стороны.

Чтобы ответить на вопрос, какова вероятность того, что точка А находится внутри этого круга, необходимо вычислить отношение площадей. Площадь круга радиуса \(r\) можно вычислить по формуле \(\pi r^2\). Площадь квадрата со стороной 10 м равна \(10^2\) или 100.

Таким образом, вероятность того, что точка А находится внутри круга, равна отношению площади круга к площади квадрата:

\[
P_1 = \frac{{\pi r^2}}{{100}}
\]

Вторая часть: рассмотрим случай, когда точка А находится внутри круга радиусом \(R\), где \(R\) — расстояние от центра квадрата до его угла. В данном случае требуется найти вероятность того, что расстояние от точки А до ближайшей стороны квадрата составляет не менее \(R\).

Получить ответ на этот вопрос можно на основе эйлеровой аппроксимации окружностей. Согласно этой аппроксимации, круг радиусом \(R\) можно разделить на 4 сектора, образующих четвёртую часть круга, и четыре равносторонних треугольника со стороной \(R\). Таким образом, можно утверждать, что площадь области, в которой расстояние от точки А до ближайшей стороны составляет не менее \(R\), равна площади четверти круга минус четыре треугольника.

Площадь четверти круга радиусом \(R\) равна \(\frac{{\pi R^2}}{4}\), а площадь одного равностороннего треугольника можно вычислить по формуле \(\frac{{R^2 \sqrt{3}}}{4}\). Таким образом, площадь четырех треугольников составляет \(4 \times \frac{{R^2 \sqrt{3}}}{4}\), то есть \(\sqrt{3} R^2\).

Площадь области, в которой расстояние от точки А до ближайшей стороны составляет не менее \(R\), равна:

\[
S = \frac{{\pi R^2}}{4} - \sqrt{3} R^2
\]

Вероятность того, что точка А попадет в эту область, равна отношению площади этой области к площади квадрата:

\[
P_2 = \frac{{S}}{{100}}
\]

Теперь можем сложить вероятности \(P_1\) и \(P_2\), чтобы получить итоговую вероятность:

\[
P = P_1 + P_2
\]

Таким образом, мы получим ответ на задачу. Подставьте значения \(r\) и \(R\), и выполните необходимые вычисления для получения численного результата.