B1. Серединами ребер А1В1, В1С1 и АD куба ABCDA1B1C1D1 являются точки М, Н и Р соответственно. Докажите, что плоскости

Для начала, давайте разберем состав куба ABCDA1B1C1D1. У нас есть грани ABCD и A1B1C1D1, соответствующие верхней и нижней граням куба соответственно. Также у нас есть ребра, соединяющие соответствующие вершины этих граней.

Теперь нам даны точки М, Н и Р, которые являются серединами ребер А1В1, В1С1 и АD соответственно. Мы хотим доказать, что плоскости МНР и ВDD1 перпендикулярны друг другу.

Для начала, давайте рассмотрим плоскость МНР. Эта плоскость проходит через точки М, Н и Р, и она параллельна грани ABCD (плоскости, образованной этой гранью).

Теперь давайте рассмотрим плоскость ВDD1. Она проходит через точку В1, а также через точки D и D1, которые являются серединами ребер АD и А1D1 соответственно. Плоскость ВDD1 параллельна грани A1B1C1D1 (плоскости, образованной этой гранью).

Чтобы доказать, что плоскости МНР и ВDD1 перпендикулярны друг другу, нам нужно показать, что их нормальные векторы перпендикулярны.

Рассмотрим векторы \(\vec{MN}\) и \(\vec{MD}\). Вектор \(\vec{MN}\) направлен от точки М к точке Н, а вектор \(\vec{MD}\) направлен от точки М к точке D. Если плоскости МНР и ВDD1 перпендикулярны друг другу, то векторы \(\vec{MN}\) и \(\vec{MD}\) должны быть перпендикулярными.

Мы знаем, что если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю. Вычислим скалярное произведение \(\vec{MN}\) и \(\vec{MD}\):

\(\vec{MN} \cdot \vec{MD} = |\vec{MN}| \cdot |\vec{MD}| \cdot \cos(\theta)\),

где \(\theta\) - угол между векторами \(\vec{MN}\) и \(\vec{MD}\).

Так как точки М, Н и Р являются серединами соответствующих ребер куба, то векторы \(\vec{MN}\) и \(\vec{MD}\) равны по длине, то есть \(|\vec{MN}| = |\vec{MD}|\).

Также, так как плоскость МНР параллельна грани ABCD, то угол между векторами \(\vec{MN}\) и \(\vec{MD}\) равен углу между векторами, параллельными грани ABCD. Из геометрии куба, мы знаем, что эти два вектора параллельны и угол между ними равен 90 градусов.

Таким образом, мы получаем:

\(\vec{MN} \cdot \vec{MD} = |\vec{MN}| \cdot |\vec{MD}| \cdot \cos(\theta) = |\vec{MN}| \cdot |\vec{MD}| \cdot \cos(90^\circ) = |\vec{MN}| \cdot |\vec{MD}| \cdot 0 = 0\)

Получается, что скалярное произведение \(\vec{MN} \cdot \vec{MD}\) равно нулю. Это означает, что векторы \(\vec{MN}\) и \(\vec{MD}\) перпендикулярны друг другу.

Так как векторы \(\vec{MN}\) и \(\vec{MD}\) соответствуют нормальным векторам плоскостей МНР и ВDD1 соответственно, то мы можем заключить, что плоскости МНР и ВDD1 перпендикулярны друг другу.

Ответ: Доказано, что плоскости МНР и ВDD1 перпендикулярны друг другу.