Какими двумя цветами можно раскрасить пары шаров для получения различных комбинаций?

Задача требует найти два цвета, которые могут быть использованы для раскраски пары шаров таким образом, чтобы получить различные комбинации. Давайте рассмотрим эту задачу подробнее.

Предположим, у нас есть \(n\) шаров, и мы хотим выбрать два шара для раскраски. Возможно, что два выбранных шара будут одного цвета или разного цвета.

Рассмотрим случай, когда два выбранных шара имеют одинаковый цвет. В этом случае, мы можем раскрасить шары в один из \(n\) доступных цветов. Общее количество комбинаций в этом случае будет равно количеству способов выбора двух одинаковых цветов из \(n\) доступных цветов. Поскольку выбор одного и того же цвета из \(n\) возможных равносилен выбору одного цвета из доступных цветов, у нас будет \(n\) возможных комбинаций.

Рассмотрим теперь случай, когда два выбранных шара имеют разные цвета. В этом случае, каждому шару можно назначить любой из \(n\) доступных цветов. Таким образом, количество комбинаций будет равно количеству способов выбора двух разных цветов из \(n\) доступных цветов. Для этого можно использовать формулу сочетаний:

\[C(n, 2) = \frac{{n!}}{{2! \cdot (n-2)!}}\]

где \(C(n, 2)\) обозначает количество комбинаций выбора двух разных цветов из \(n\) доступных цветов, а \(n!\) обозначает факториал числа \(n\).

Итак, общее количество различных комбинаций будет равно сумме количества комбинаций, когда шары одного цвета (\(n\) комбинаций), и количества комбинаций, когда шары имеют разные цвета (\(C(n, 2)\) комбинаций):

Общее количество комбинаций = \(n + C(n, 2)\)

Таким образом, для получения максимального количества различных комбинаций, мы должны выбрать два цвета из доступных \(n\) цветов, где \(n + C(n, 2)\) будет максимальным.