Какова вероятность того, что количество безотказно работающих ячеек доильной установки во время дойки 9 коров составит

Для решения данной задачи мы можем использовать биномиальное распределение.

Биномиальное распределение применяется в случаях, когда есть несколько испытаний с двумя возможными исходами и вероятностью успеха (положительного исхода) p. В данной задаче "успехом" будет считаться безотказная работа ячейки, а "неудачей" - отказ ячейки в работе.

Формула для вероятности в данном случае имеет вид:

\(P(X=x) = C_n^x \cdot p^x \cdot (1-p)^{n-x}\),

где X - случайная величина, равная количеству безотказно работающих ячеек, х - заданное количество ячеек (9 в данной задаче), n - общее количество ячеек (также 9), p - вероятность испытания (безотказная работа ячейки, равная 0,8 в данной задаче), С - символ "комбинации".

Теперь найдем значение D(x), которое является суммой вероятностей от x до n:

\(D(x) = P(X=x) + P(X=x+1) + ... + P(X=n)\).

Расчитаем значение каждого слагаемого:

Для x=9:
\(P(X=9) = C_9^9 \cdot 0,8^9 \cdot (1-0,8)^{9-9} = 1 \cdot 0,8^9 \cdot 0,2^0 = 0,8^9 = 0,134217728\).

Для x=8:
\(P(X=8) = C_9^8 \cdot 0,8^8 \cdot (1-0,8)^{9-8} = 9 \cdot 0,8^8 \cdot 0,2^1 = 9 \cdot 0,8^8 \cdot 0,2 = 0,2415919104\).

Для x=7:
\(P(X=7) = C_9^7 \cdot 0,8^7 \cdot (1-0,8)^{9-7} = 36 \cdot 0,8^7 \cdot 0,2^2 = 36 \cdot 0,8^7 \cdot 0,04 = 0,247609664\).

Для x=6:
\(P(X=6) = C_9^6 \cdot 0,8^6 \cdot (1-0,8)^{9-6} = 84 \cdot 0,8^6 \cdot 0,2^3 = 84 \cdot 0,8^6 \cdot 0,008 = 0,1937102448\).

Для x=5:
\(P(X=5) = C_9^5 \cdot 0,8^5 \cdot (1-0,8)^{9-5} = 126 \cdot 0,8^5 \cdot 0,2^4 = 126 \cdot 0,8^5 \cdot 0,0016 = 0,103809024\).

Для x=4:
\(P(X=4) = C_9^4 \cdot 0,8^4 \cdot (1-0,8)^{9-4} = 126 \cdot 0,8^4 \cdot 0,2^5 = 126 \cdot 0,8^4 \cdot 0,00032 = 0,0415232\).

Для x=3:
\(P(X=3) = C_9^3 \cdot 0,8^3 \cdot (1-0,8)^{9-3} = 84 \cdot 0,8^3 \cdot 0,2^6 = 84 \cdot 0,8^3 \cdot 0,000064 = 0,0085056\).

Для x=2:
\(P(X=2) = C_9^2 \cdot 0,8^2 \cdot (1-0,8)^{9-2} = 36 \cdot 0,8^2 \cdot 0,2^7 = 36 \cdot 0,8^2 \cdot 0,000128 = 0,0009216\).

Для x=1:
\(P(X=1) = C_9^1 \cdot 0,8^1 \cdot (1-0,8)^{9-1} = 9 \cdot 0,8^1 \cdot 0,2^8 = 9 \cdot 0,8^1 \cdot 0,000256 = 0,00018432\).

Для x=0:
\(P(X=0) = C_9^0 \cdot 0,8^0 \cdot (1-0,8)^{9-0} = 1 \cdot 0,8^0 \cdot 0,2^9 = 1 \cdot 0,8^0 \cdot 0,000512 = 0,000512\).

Теперь найдем значение D(x):

\(D(x) = P(X=9) + P(X=8) + P(X=7) + P(X=6) + P(X=5) + P(X=4) + P(X=3) + P(X=2) + P(X=1) + P(X=0)\).

\(D(x) = 0,134217728 + 0,2415919104 + 0,247609664 + 0,1937102448 + 0,103809024 + 0,0415232 + 0,0085056 + 0,0009216 + 0,00018432 + 0,000512\).

\(D(x) = 1,9717051904\).

Таким образом, значение D(x) равно 1,9717051904.

Теперь найдем ближайший вариант к этому значению из предложенных вариантов ответа.

Ближайший вариант к 1,9717051904 из предложенных вариантов составляет 2,52. Таким образом, правильный ответ a.2,52.