Какова вероятность того, что хотя бы одна из трех новых ламп останется исправной? Какова вероятность того, что

Данная задача связана с теорией вероятностей и распределением случайных величин. Давайте пошагово решим ее и разберем каждую часть задания.

1. Вероятность того, что хотя бы одна из трех новых ламп останется исправной:
Для нахождения этой вероятности используем принцип дополнения. Найдем вероятность того, что все три лампы выйдут из строя и вычтем ее из 1. Таким образом, вероятность того, что хотя бы одна лампа останется исправной равна:
\[P(\text{хотя бы одна лампа исправна}) = 1 - P(\text{все три лампы выйдут из строя})\]

2. Вероятность того, что все три лампы выйдут из строя:
Поскольку каждая лампа независимо выходит из строя с вероятностью \(p\), где \(0 \leq p \leq 1\), то вероятность того, что все три лампы выйдут из строя равна:
\[P(\text{все три лампы выйдут из строя}) = p \times p \times p = p^3\]

3. Функция распределения:
Для данной ситуации функция распределения будет иметь вид:
\[F(x) =
\begin{cases}
0, & x < 0 \\
1 - p^3, & 0 \leq x < 1 \\
1, & x \geq 1
\end{cases}
\]
где \(x\) - количество исправных ламп.

4. График функции распределения:
На графике функции распределения вертикальная ось представляет собой вероятность от 0 до 1, а горизонтальная ось - количество исправных ламп. График будет иметь участок горизонтальной прямой от 0 до 1 с наклоном в точке (1, 1).

5. Математическое ожидание и дисперсия:
Математическое ожидание (среднее значение) для данного случая можно найти, умножив каждое возможное количество исправных ламп на соответствующую вероятность их появления, и сложив результаты:
\[\text{Математическое ожидание} = 0 \times (1 - p^3) + 1 \times (p^3) = p^3\]

Дисперсия вычисляется как среднее значение квадрата отклонения случайной величины от ее среднего значения:
\[\text{Дисперсия} = (0 - p^3)^2 \times (1 - p^3) + (1 - p^3)^2 \times (p^3) = p^3(1 - p^3)\]

Таким образом, мы ответили на все вопросы задачи, предоставив максимально подробное и обстоятельное решение.