Какова вероятность того, что цифра 5 будет встречаться семь раз, если будет случайным образом названо 10 цифр?

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо определить общее количество возможных комбинаций из 10 цифр и количество комбинаций, в которых цифра 5 встречается ровно 7 раз.

Для начала, давайте посмотрим на общее количество возможных комбинаций из 10 цифр. Учитывая, что каждая цифра может быть любой от 0 до 9, мы имеем 10 возможных вариантов для каждой позиции. Таким образом, общее количество комбинаций составляет ${10}^{10}$ (10 возможных цифр для каждой из 10 позиций).

Теперь давайте рассмотрим количество комбинаций, в которых цифра 5 появляется 7 раз. Чтобы получить такую комбинацию, мы можем выбрать 7 позиций для цифры 5 из 10 возможных позиций, а оставшиеся три позиции заполнить другими цифрами. Есть также 9 вариантов для каждой позиции, поскольку мы не можем использовать цифру 5. Таким образом, количество комбинаций, в которых цифра 5 встречается ровно 7 раз, равно $C(10,7)\cdot 9^3$, где $C(10,7)$ - это количество сочетаний из 10 по 7.

Теперь мы можем вычислить вероятность того, что цифра 5 будет встречаться семь раз из 10 случайно названных цифр. Вероятность вычисляется как отношение количества комбинаций, в которых цифра 5 встречается 7 раз, к общему количеству возможных комбинаций.

Итак, вероятность будет равна:

$$P=\frac{C(10,7)\cdot 9^3}{{10}^{10}}$$

Теперь давайте вычислим эту вероятность численно:

$$P=\frac{10!}{7!\cdot 3!}\cdot \frac{9^3}{{10}^{10}}$$

Вычислив факториалы, получим:

$$P=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1}\cdot \frac{9^3}{{10}^{10}}$$

$$P=\frac{720}{6}\cdot \frac{9^3}{{10}^{10}}$$

$$P=120\cdot \frac{729}{{10}^{10}}$$

$$P=\frac{87480}{{10}^{10}}$$

$$P\approx 0.000008748$$

Таким образом, вероятность того, что цифра 5 будет встречаться ровно 7 раз из 10 случайно названных цифр, составляет приблизительно 0,000008748 или 0.00087%.