Какова вероятность случайного распределения 11 различных шаров по 4 ящикам таким образом, что в один ящик попадет

Для решения данной задачи мы можем использовать комбинаторику и принцип умножения.

Давайте рассмотрим каждый ящик по отдельности и определим, сколько способов разместить шары в каждом из них.

В первый ящик мы должны положить 5 шаров. Поскольку у нас есть 11 различных шаров, мы можем выбрать 5 шаров из 11 и разместить их в ящике. Существует \(\binom{11}{5}\) способов выбрать 5 шаров из 11 при помощи сочетаний. Поэтому, в первый ящик есть \(\binom{11}{5}\) способов разместить 5 шаров.

Аналогичным образом, во второй ящик мы должны положить 1 шар. Из оставшихся 6 шаров мы выбираем 1 шар и помещаем его во второй ящик. Таким образом, во второй ящик мы можем положить шар \(\binom{6}{1}\) способом.

Для третьего ящика нам нужно выбрать и разместить 2 шара из оставшихся 5. Это возможно сделать \(\binom{5}{2}\) способами.

И, наконец, для четвертого ящика у нас остаются 2 шара, которые мы помещаем в ящик. Таким образом, у нас остается только 1 способ разместить 2 шара в четвертом ящике.

Теперь нам нужно перемножить количество способов для каждого ящика, чтобы получить общее количество способов размещения шаров:
\[\binom{11}{5} \times \binom{6}{1} \times \binom{5}{2} \times 1\]

Вычислим каждое сочетание:

\(\binom{11}{5} = \frac{11!}{5!(11-5)!} = \frac{11!}{5!6!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 462\)

\(\binom{6}{1} = \frac{6!}{1!(6-1)!} = \frac{6!}{1!5!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2}{1} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 720\)

\(\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10\)

Таким образом, общая вероятность случайного распределения 11 различных шаров по 4 ящикам таким образом, что в один ящик попадет 5 шаров, в другой - 1 шар, в третий - 2 шара, а в четвёртый - 3 шара, равна:

\(\binom{11}{5} \times \binom{6}{1} \times \binom{5}{2} \times 1 = 462 \times 720 \times 10 \times 1 = 33,264,000\) способов.

Таким образом, вероятность случайного распределения шаров таким образом равна \(\frac{33,264,000}{\text{общее количество возможных распределений}}\). Чтобы найти общее количество возможных распределений, нам нужно рассмотреть все возможные комбинации размещения 11 шаров по 4 ящикам. Общее количество возможных комбинаций можно определить с помощью принципа умножения. Количество возможных комбинаций определяется как \(4^{11}\) (4 возможных ящика, каждый с 11 возможными шарами).

Итак, общее количество возможных распределений равно \(4^{11}\). Подставляя этое значение в формулу вероятности, мы получаем:

Вероятность = \(\frac{33,264,000}{4^{11}}\)