Какова вероятность работы 25 автомашин из 30 в начале рабочего дня, с учетом вероятности неисправности каждой машины

Для решения данной задачи и нахождения вероятности работы 25 автомашин из 30 с использованием формулы Бернулли, необходимо сначала определить значения вероятности успеха (p) и вероятности неудачи (q).

В данной задаче вероятность успеха (p) равна вероятности работы каждой машины, и составляет 0,9 (1 - 0,1 = 0,9), так как вероятность неисправности каждой машины равна 0,1.

Вероятность неудачи (q), которая представляет собой вероятность отказа каждой машины, равна 0,1.

Теперь, с использованием формулы Бернулли, мы можем рассчитать вероятность работы 25 автомашин из 30.

Формула Бернулли имеет следующий вид:
\[P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}\]

где:
- P(X=k) - вероятность, что ровно k автомашин будет работать;
- C_n^k - количество сочетаний из n по k, то есть число комбинаций, которые могут обеспечить k успехов из n испытаний;
- p^k - вероятность k успехов (работы машин);
- q^(n-k) - вероятность (1 - p) отказов (неисправности машин).

В нашем случае, мы ищем вероятность работы 25 автомашин, поэтому k = 25, n = 30, p = 0,9 и q = 0,1.

Подставляем значения в формулу Бернулли:
\[P(X=25) = C_{30}^{25} \cdot 0,9^{25} \cdot 0,1^5\]

Рассчитаем каждый множитель по отдельности.

Количество сочетаний из 30 по 25, обозначаемое как C_{30}^{25}, вычисляется по формуле:
\[C_{30}^{25} = \frac{30!}{25!(30-25)!}\]

Раскроем факториалы:
\[C_{30}^{25} = \frac{30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\]

Вычисляем каждый множитель:
\[C_{30}^{25} = 142506\]

Теперь вычислим оставшиеся множители:
\[0,9^{25} \approx 0,005386\]
\[0,1^5 = 0,00001\]

Теперь умножим все полученные значения, чтобы получить итоговую вероятность:
\[P(X=25) = 142506 \cdot 0,005386 \cdot 0,00001 \approx 0,767\]

Итак, вероятность работы 25 автомашин из 30 в начале рабочего дня составляет приблизительно 0,767 или 76,7%.