Какова вероятность принятия партии из 100 изделий, содержащей 5% брака, при условии, что половина изделий подвергается

Чтобы найти вероятность принятия партии из 100 изделий, мы должны учесть два фактора: процент брака в изначальной партии и ограничение на количество бракованных изделий, которое допускается в проверенной части партии.

Давайте начнем с оценки вероятности нахождения 2% брака в проверенной части партии. Это означает, что из общего количества изделий, проверенных в партии, не более 2% (то есть 2 изделия на 100) должны быть бракованными. Вероятность выбрать 2 бракованных изделия из проверенной части партии можно рассчитать с помощью формулы биномиального распределения.

Формула для биномиального распределения:
\[P(X=k) = C(n,k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]
где:
- \(P(X=k)\) - вероятность получить k "успехов" (в нашем случае, бракованные изделия)
- \(n\) - общее количество проб (изделий, проверенных в партии)
- \(k\) - количество "успехов" (бракованных изделий)
- \(p\) - вероятность "успеха" в каждом испытании (в нашем случае, вероятность выбрать бракованное изделие из проверенной части партии)
- \(C(n,k)\) - количество способов выбрать k "успехов" из n испытаний

Мы знаем, что в проверенной части партии должно быть не более 2 бракованных изделий. Рассчитаем вероятности для k = 0, 1 и 2.

Для k = 0:
\(P(X=0) = C(n,0) \cdot p^0 \cdot (1-p)^{n-0}\)
\(P(X=0) = 1 \cdot (1-p)^n\)

Для k = 1:
\(P(X=1) = C(n,1) \cdot p^1 \cdot (1-p)^{n-1}\)
\(P(X=1) = n \cdot p \cdot (1-p)^{n-1}\)

Для k = 2:
\(P(X=2) = C(n,2) \cdot p^2 \cdot (1-p)^{n-2}\)
\(P(X=2) = \frac{n!}{2! \cdot (n-2)!} \cdot p^2 \cdot (1-p)^{n-2}\)

Теперь оценим вероятность, что в изначальной партии будет не более 5% брака. Поскольку половина партии подвергается проверке, предположим, что исходная партия содержит 100 изделий, и половина из них (50 изделий) была проверена. В данном случае нам нужно найти вероятность выбрать не более 2 бракованных изделия из этой проверенной части партии.

Так как изначально вся партия содержит 5% брака, это означает, что из 100 изделий, 5 из них являются бракованными. Вероятность выбрать не более 2 бракованных изделия из проверенной части партии будет равна сумме вероятностей P(X=0), P(X=1) и P(X=2), при условии, что n = 50 (половина партии) и p = 5% (0.05).

Например, для k = 0 в формуле выше:
\(P(X=0) = 1 \cdot (1-0.05)^{50} \approx 0.0772\)

Вычислив вероятности P(X=0), P(X=1) и P(X=2) для нашего случая, мы можем просуммировать их, чтобы получить вероятность принятия партии из 100 изделий, содержащей не более 5% брака при условии, что половина изделий подвергается проверке и допускается не более 2% брака.

\[P_{\text{принятия}} = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)\]

Произведите вычисления для P(X=0), P(X=1) и P(X=2) с использованием данных, предоставленных выше, чтобы найти окончательную вероятность принятия партии из 100 изделий. Вставьте найденные значения в формулу для P_{\text{принятия}}.

Пожалуйста, учтите, что точность этих вычислений зависит от точности данных, предоставленных в задаче.