Какова вероятность поражения мишени только после шестого выстрела? Какова вероятность попадания по мишени хотя бы один

Для решения этой задачи, нам необходимо знать вероятность попадания по мишени в каждом выстреле. Пусть вероятность попадания равна \(p\), а вероятность промаха равна \(q = 1 - p\).

Теперь давайте рассмотрим первую часть задачи - вероятность поражения мишени только после шестого выстрела. Здесь у нас есть два варианта: либо произойдет попадание на шестом выстреле, либо он будет промахнут.

Вероятность попадания в шестом выстреле равна \(p\) (1). Вероятность промаха на шестом выстреле равна \(q\) (2). Однако, для того чтобы произошло попадание только на шестом выстреле, все предшествующие попытки должны быть промахами. Вероятность промаха на первом выстреле равна \(q\) (3), на втором выстреле - также \(q\) (4), и так далее.

Поскольку каждая попытка является независимой, мы можем перемножить вероятности независимых событий. Так как нам нужно, чтобы все предыдущие попытки были промахами, мы перемножим вероятности промахов: \(q \times q \times q \times q \times q \times p\). Объединим все эти шаги, и получим следующее выражение для вероятности поражения мишени только после шестого выстрела:

\[P = q \times q \times q \times q \times q \times p\] (5)

Теперь рассмотрим вторую часть задачи - вероятность попадания по мишени хотя бы один раз в течение трех выстрелов. Здесь мы должны рассмотреть все возможные случаи, когда происходит хотя бы одно попадание, то есть одно попадание, два попадания или три попадания.

1. Попадание в первом выстреле и промахи на двух оставшихся выстрелах. Вероятность этого случая равна \(p \times q \times q\) (6).
2. Промах на первом выстреле, попадание во втором выстреле и промах на третьем выстреле. Вероятность этого случая равна \(q \times p \times q\) (7).
3. Промахи на первых двух выстрелах и попадание на третьем выстреле. Вероятность этого случая равна \(q \times q \times p\) (8).

Теперь мы можем объединить все эти случаи, чтобы найти искомую вероятность. Все эти случаи являются независимыми, поэтому мы должны сложить их вероятности:

\[P = p \times q \times q + q \times p \times q + q \times q \times p\] (9)

Вот и все шаги решения задачи о вероятности поражения мишени только после шестого выстрела и вероятности попадания по мишени хотя бы один раз в течение трех выстрелов.