Какова площадь фигуры, ограниченной графиками уравнений y=1/x и y=-1/4x+5/4?

Для решения данной задачи необходимо найти точки пересечения графиков функций \(y = \frac{1}{x}\) и \(y = -\frac{1}{4}x + \frac{5}{4}\), а затем найти площадь фигуры, ограниченной этими графиками.

Для начала, найдем точки пересечения. Для этого приравняем уравнения и решим полученное уравнение относительно \(x\):

\[\frac{1}{x} = -\frac{1}{4}x + \frac{5}{4}\]

Умножим обе части на \(4x\), чтобы избавиться от знаменателей:

\[4 = -x^2 + 5x\]

Теперь приведем уравнение к квадратному виду:

\[x^2 - 5x + 4 = 0\]

Решим это квадратное уравнение с помощью квадратного трехчлена, разложив его на множители:

\[(x - 1)(x - 4) = 0\]

Отсюда получаем два значения \(x\): \(x = 1\) и \(x = 4\).

Теперь найдем соответствующие значения \(y\) для этих точек. Подставим значения \(x\) в уравнение \(y = \frac{1}{x}\):

Для \(x = 1\):

\[y = \frac{1}{1} = 1\]

Для \(x = 4\):

\[y = \frac{1}{4} = \frac{1}{4}\]

Таким образом, точки пересечения графиков: \((1, 1)\) и \((4, \frac{1}{4})\).

Теперь нарисуем графики этих функций и фигуру, ограниченную этими графиками:

\[график\]

Фигура, ограниченная графиками функций \(y = \frac{1}{x}\) и \(y = -\frac{1}{4}x + \frac{5}{4}\), представляет собой два секущих кривых, заключенных между горизонтальными осями и вертикальными линиями, проходящими через точки пересечения.

Чтобы найти площадь этой фигуры, можно разбить ее на две части и вычислить площади этих частей отдельно.

Первая часть фигуры находится под графиком функции \(y = \frac{1}{x}\) и ограничена горизонтальной осью, вертикальной линией \(x = 1\) и графиком функции \(y = -\frac{1}{4}x + \frac{5}{4}\).

\[первая\ часть\]

Площадь этой части фигуры можно вычислить как интеграл функции \(y = \frac{1}{x}\) на интервале от \(x = 1\) до \(x = 4\):

\[\int_1^4 \frac{1}{x}\,dx\]

Подсчитаем значение этого интеграла:

\[\int_1^4 \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|\Bigg|_1^4 = (\ln|4|) - (\ln|1|)\]

Таким образом, площадь первой части фигуры равна \(\ln(4)\).

Вторая часть фигуры находится над графиком функции \(y = -\frac{1}{4}x + \frac{5}{4}\) и ограничена горизонтальной осью, вертикальными линиями \(x = 1\) и \(x = 4\) и графиком функции \(y = \frac{1}{x}\).

\[вторая\ часть\]

Площадь этой части фигуры можно вычислить как интеграл функции \(y = -\frac{1}{4}x + \frac{5}{4}\) на интервале от \(x = 1\) до \(x = 4\), вычитая площадь треугольника, образованного точками пересечения и графиком функции \(y = \frac{1}{x}\).

Вычислим значение этого интеграла:

\[\int_1^4 \left(-\frac{1}{4}x + \frac{5}{4}\right)\,dx = -\frac{1}{8}x^2 + \frac{5}{4}x\Bigg|_1^4\]

\[-\frac{1}{8}(4)^2 + \frac{5}{4}(4) - \left(-\frac{1}{8}(1)^2 + \frac{5}{4}(1)\right)\]

Сократим выражение:

\[-\frac{1}{8} \cdot 16 + \frac{5}{4} \cdot 4 - \left(-\frac{1}{8} + \frac{5}{4}\right)\]

Выполним расчеты:

\[-2 + 5 - \left(-\frac{1}{8} + \frac{5}{4}\right)\]

\[-2 + 5 - \left(-\frac{1}{8} + \frac{10}{8}\right)\]

\[-2 + 5 - \frac{9}{8}\]

\[-\frac{16}{8} + \frac{40}{8} - \frac{9}{8}\]

\[\frac{15}{8}\]

Таким образом, площадь второй части фигуры равна \(\frac{15}{8}\).

Наконец, суммируем площади обеих частей фигуры:

\[\text{Площадь фигуры} = \ln(4) + \frac{15}{8}\]