Какова вероятность попадания в цель при пяти выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8?

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать биномиальное распределение вероятностей.

Биномиальное распределение применяется в случаях, когда есть два возможных исхода (в данном случае попадание или промах) и вероятность каждого исхода остается постоянной.

В данной задаче нам дано, что вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8. Пусть \(p\) обозначает вероятность попадания, а \(q\) вероятность промаха, тогда \(p = 0,8\) и \(q = 1 - p = 1 - 0,8 = 0,2\).

Теперь мы можем использовать формулу биномиального распределения, чтобы найти вероятность попадания ровно \(k\) раз из \(n\) попыток:

\[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}
\]

где \(C(n, k)\) обозначает число сочетаний, равное числу способов выбрать \(k\) попаданий из \(n\) выстрелов.

В данной задаче нам нужно найти вероятность попадания ровно 5 раз из 5 выстрелов. Таким образом, \(k = 5\) и \(n = 5\).

Теперь подставим значения в формулу:

\[
P(X = 5) = C(5, 5) \cdot 0,8^5 \cdot 0,2^{5-5}
\]

Сперва посчитаем сочетание:

\[
C(5, 5) = \frac{5!}{5!(5-5)!} = 1
\]

Теперь посчитаем:

\[
P(X = 5) = 1 \cdot 0,8^5 \cdot 0,2^0 = 1 \cdot (0,8)^5 \cdot 1 = 0,8^5 = 0,32768
\]

Таким образом, вероятность попадания в цель при пяти выстрелах составляет 0,32768 или около 32,768%.

Чтобы построить многоугольник распределения вероятностей, нам нужно найти вероятности попадания от 0 до 5 раз из 5 выстрелов. Для этого можно использовать ту же формулу, просто подставляя различные значения \(k\) от 0 до 5.

\(P(X = 0) = C(5, 0) \cdot 0,8^0 \cdot 0,2^{5-0} = 1 \cdot 0,8^0 \cdot 0,2^5 = 0,2^5 = 0,00032\)

\(P(X = 1) = C(5, 1) \cdot 0,8^1 \cdot 0,2^{5-1} = 5 \cdot 0,8^1 \cdot 0,2^4 = 0,4096\)

\(P(X = 2) = C(5, 2) \cdot 0,8^2 \cdot 0,2^{5-2} = 10 \cdot 0,8^2 \cdot 0,2^3 = 0,4096\)

\(P(X = 3) = C(5, 3) \cdot 0,8^3 \cdot 0,2^{5-3} = 10 \cdot 0,8^3 \cdot 0,2^2 = 0,096\)

\(P(X = 4) = C(5, 4) \cdot 0,8^4 \cdot 0,2^{5-4} = 5 \cdot 0,8^4 \cdot 0,2^1 = 0,4096\)

\(P(X = 5) = C(5, 5) \cdot 0,8^5 \cdot 0,2^{5-5} = 1 \cdot 0,8^5 \cdot 0,2^0 = 0,32768\)

Теперь мы можем построить многоугольник распределения вероятностей, где по оси X будут значения \(k\) (от 0 до 5) и по оси Y - соответствующие вероятности попадания.