Сколько натуральных чисел n удовлетворяют уравнению НОК (10;n) = НОД (20;6n)?

Хорошо, давайте разберемся в этой задаче поэтапно.

Шаг 1: Определение НОКа и НОДа
НОК (наименьшее общее кратное) двух чисел - это наименьшее число, которое делится на оба числа без остатка. НОД (наибольший общий делитель) двух чисел - это наибольшее число, которое делит оба числа без остатка.

Шаг 2: Выражение НОК и НОД через простые множители
Для решения этой задачи нам понадобится выразить НОК (10;n) и НОД (20;6n) через их простые множители. Представим числа 10, n, 20 и 6n в виде произведения их простых множителей:

10 = 2 * 5
n = p₁^a₁ * p₂^a₂ * ... * pₙ^aₙ (где p₁, p₂, ..., pₙ - простые числа, a₁, a₂, ..., aₙ - натуральные числа)
20 = 2^2 * 5
6n = 2 * 3 * p₁^a₁ * p₂^a₂ * ... * pₙ^aₙ

Шаг 3: Выражение НОК и НОД через их простые множители
Теперь, когда мы представили числа в виде произведения простых множителей, мы можем записать НОК (10;n) и НОД (20;6n) через эти множители:

НОК (10;n) = 2 * 3 * 5 * p₁^a₁ * p₂^a₂ * ... * pₙ^aₙ
НОД (20;6n) = 2 * 5

Шаг 4: Уравнение НОК (10;n) = НОД (20;6n)
Теперь мы можем записать исходное уравнение и подставить выражения для НОК и НОД из предыдущего шага:

2 * 3 * 5 * p₁^a₁ * p₂^a₂ * ... * pₙ^aₙ = 2 * 5

Шаг 5: Упрощение выражения
На данном этапе мы можем сократить общие множители и упростить уравнение:

3 * p₁^a₁ * p₂^a₂ * ... * pₙ^aₙ = 1

Шаг 6: Решение уравнения
Теперь мы можем заметить, что слева от равенства у нас есть произведение простых чисел и их степеней, а справа - единица. Такое уравнение имеет смысл только если все множители слева равны единице:

3 = 1
p₁^a₁ = 1
p₂^a₂ = 1
...
pₙ^aₙ = 1

Таким образом, мы получаем, что все простые множители числа n должны быть равны единице. То есть, число n должно быть равно единице.

Шаг 7: Подсчет натуральных чисел n
Теперь мы можем подсчитать количество натуральных чисел n, удовлетворяющих уравнению. Единственное натуральное число, которое удовлетворяет этому условию, - это число 1.

Ответ: Только одно натуральное число n = 1 удовлетворяет уравнению НОК (10;n) = НОД (20;6n).