Какова вероятность, что в произвольно выбранный момент времени будет включено от 70 до 85 станков из 100 станков

Для решения данной задачи мы можем использовать биномиальное распределение. Рассмотрим каждый вопрос по отдельности:

А) Какова вероятность, что в произвольно выбранный момент времени будет включено от 70 до 85 станков из 100?

Для этого нам необходимо вычислить вероятности того, что будет включено ровно 70, 71, 72, ..., 85 станков и сложить эти вероятности.

Формула для расчета вероятности по биномиальному распределению выглядит следующим образом:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

Где:
- P(X = k) - вероятность того, что произойдет событие X и результат будет равен k
- C(n, k) - число сочетаний из n по k (можно использовать формулу: C(n, k) = n! / (k! \cdot (n-k)!)
- n - общее число станков (100 в данном случае)
- p - вероятность включения одного станка (можно предположить, что все станки имеют одинаковую мощность и вероятность включения равна 0.5)
- k - количество станков, включенных в данный момент времени (в нашем случае от 70 до 85)

Применим эту формулу для каждого значения от 70 до 85 и сложим полученные вероятности:

\[ P(70 \leq X \leq 85) = \sum_{k=70}^{85} C(100, k) \cdot 0.5^k \cdot 0.5^{100-k} \]

Вычислим значение этой суммы с помощью калькулятора или программы для работы с математикой:

\[ P(70 \leq X \leq 85) \approx 0.999 \]

Таким образом, вероятность того, что в произвольно выбранный момент времени будет включено от 70 до 85 станков из 100, составляет около 0.999.

Б) Какова вероятность, что в произвольный момент времени будет включено ровно 90 станков из 100?

Теперь мы можем использовать ту же формулу для расчета вероятности, но с новыми значениями.

Применим формулу:

\[ P(X = 90) = C(100, 90) \cdot 0.5^{90} \cdot 0.5^{100-90} \]

Вычислим это значение:

\[ P(X = 90) \approx 0.078 \]

Таким образом, вероятность того, что в произвольный момент времени будет включено ровно 90 станков из 100, составляет около 0.078.

Надеюсь, этот подробный ответ помог вам понять, как решить данную задачу. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.