Какова вероятность, что событие А произойдет точно 220 раз в каждом из 500 независимых испытаний с постоянной

Для решения этой задачи воспользуемся биномиальным распределением. Вероятность события А в каждом испытании составляет 0,4, а количество испытаний равно 500.

1. Для определения вероятности того, что событие А произойдет точно 220 раз в каждом из 500 испытаний, мы можем использовать формулу биномиального распределения:

$$P(X=k)=C_n^k\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k}$$

где P(X=k) - вероятность того, что событие А произойдет ровно k раз,
C^k_n - количество сочетаний из n элементов по k,
p - вероятность события А в каждом испытании,
n - общее количество испытаний.

В данном случае, нам нужно найти вероятность того, что событие А произойдет ровно 220 раз, поэтому подставим соответствующие значения в формулу:

$$P(X=220)=C_{500}^{220}\cdot 0,4^{220}\cdot (1-0,4{)}^{(500-220)}$$

Используя формулу для подсчета сочетаний, получим:

$$P(X=220)=\frac{500!}{220!(500-220)!}\cdot 0,4^{220}\cdot 0,6^{280}$$

2. Теперь рассмотрим вероятность того, что событие А произойдет менее, чем 240 раз и более, чем 260 раз в каждом из 500 испытаний. Для решения этой задачи мы можем использовать свойство симметрии биномиального распределения: вероятность того, что событие произойдет меньше, чем k раз, равна вероятности того, что событие произойдет больше, чем n-k раз.

Таким образом, мы можем найти вероятность того, что событие А произойдет менее, чем 240 раз и более, чем 260 раз, как сумму вероятностей того, что событие произойдет менее, чем 240 раз и того, что событие произойдет более, чем 260 раз:

$$P(X<240)+P(X>260)=\sum _{k=0}^{239}P(X=k)+\sum _{k=261}^{500}P(X=k)$$

Для каждой из сумм, мы можем использовать формулу биномиального распределения, подставив соответствующие значения:

$$\sum _{k=0}^{239}P(X=k)=\sum _{k=0}^{239}{C}_{500}^k\cdot 0,4^k\cdot (1-0,4{)}^{(500-k)}$$
$$\sum _{k=261}^{500}P(X=k)=\sum _{k=261}^{500}{C}_{500}^k\cdot 0,4^k\cdot (1-0,4{)}^{(500-k)}$$

Произведем расчеты и найдем итоговую вероятность.

Учитывайте, что это лишь один из возможных подходов к решению задачи, основанный на использовании биномиального распределения. Надеюсь, это поможет вам лучше понять тему и успешно решить задачу! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.