Какова вероятность, что ровно 2 патрона из 8000 в партии окажутся бракованными, если вероятность брака одного патрона

Чтобы решить эту задачу, мы должны использовать биномиальное распределение вероятности. Для начала, давайте разберемся с формулой для биномиального распределения.

Формула для биномиального распределения вероятности выглядит следующим образом:

\[P(X=k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

Где:
- \(P(X=k)\) - вероятность того, что в выборке размером n мы получим ровно k "успехов".
- \(C(n, k)\) - число сочетаний из n элементов, k элементов.
- \(p\) - вероятность "успеха" в одном испытании.
- \(k\) - количество "успехов".
- \(n\) - общее количество испытаний или элементов в выборке.

В данной задаче, мы хотим найти вероятность того, что ровно 2 патрона из 8000 в партии окажутся бракованными, при условии, что вероятность брака одного патрона составляет 0,0005.

Используем формулу биномиального распределения, подставив значения в соответствующие переменные:

\[n = 8000\]
\[k = 2\]
\[p = 0,0005\]

Теперь найдем значение для \(C(n, k)\). Формула для сочетаний составляет:

\[C(n, k) = \frac{n!}{(n-k)! \cdot k!}\]

Подставив значения, получим:

\[C(8000, 2) = \frac{8000!}{(8000-2)! \cdot 2!}\]

Мы можем упростить эту формулу, заменив факториалы на числа:

\[C(8000, 2) = \frac{8000 \cdot 7999}{2 \cdot 1} = 31992000\]

Теперь, подставив все значения в формулу биномиального распределения, получим:

\[P(X=2) = 31992000 \cdot 0,0005^2 \cdot (1-0,0005)^{8000-2}\]

Вычислим это выражение:

\[P(X=2) = 31992000 \cdot 0,00000025 \cdot 0,9995^{7998}\]

Итак, вероятность того, что ровно 2 патрона из 8000 в партии окажутся бракованными, составляет:

\[P(X=2) \approx 0,023961\]

Или можно записать вероятность в процентах: около 2.3961%.