Какова вероятность, что решка выпала при первых трех подбрасываниях монеты, если известно, что в шести подбрасываниях

Чтобы найти вероятность того, что "решка" выпала при первых трех подбрасываниях монеты, при условии, что в шести подбрасываниях "решка" выпала ровно четыре раза, нам необходимо применить условную вероятность.

Для начала, давайте определим общую вероятность того, что "решка" выпадет ровно четыре раза из шести подбрасываний. Мы можем использовать биномиальное распределение для этого. Формула биномиального распределения выглядит следующим образом:

\[P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

где \(P(X=k)\) - вероятность того, что событие произойдет ровно \(k\) раз, \(C_n^k\) - число сочетаний из \(n\) элементов по \(k\) элементов, \(p\) - вероятность одного успешного эксперимента, \(n\) - общее число экспериментов.

Для нашей задачи, \(n=6\) (шестое подбрасывание), \(k=4\) (четыре "решки"), \(p\) - вероятность выпадения "решки". Поскольку монета симметрична, \(p = \frac{1}{2}\).

Подставляя эти значения в формулу биномиального распределения, мы получим:

\[P(X=4) = C_6^4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 15 \cdot \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{4} = \frac{15}{64}\]

Теперь, зная, что в шести подбрасываниях "решка" выпала ровно четыре раза, нам нужно найти вероятность того, что "решка" выпала при первых трех подбрасываниях монеты. Таким образом, нам нужно определить условную вероятность \(P(A|B)\), где:
- \(A\) - событие "решка выпадет при первых трех подбрасываниях"
- \(B\) - событие "решка выпадет ровно четыре раза в шести подбрасываниях"

Формула условной вероятности:

\[P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\]

Так как нам известна вероятность события \(B\) (\(\frac{15}{64}\)), нам нужно найти вероятность события \(A \cap B\) - т.е. что события \(A\) и \(B\) произошли одновременно.

Вероятность того, что "решка" выпадет при первых трех подбрасываниях монеты и "решка" выпадет ровно четыре раза в шести подбрасываниях, можно представить как вероятность выпадения "решки" при первых трех подбрасываниях монеты (равна \(\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}\)) и вероятность выпадения "решки" еще ровно одного раза при оставшихся трех подбрасываниях (\(\left(\frac{1}{2}\right)^1 = \frac{1}{2}\)). Перемножение этих вероятностей даст нам \(P(A \cap B) = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{16}\).

Теперь мы можем подставить значения в формулу условной вероятности:

\[P(A|B) = \frac{\frac{1}{16}}{\frac{15}{64}} = \frac{4}{15}\]

Таким образом, искомая вероятность составляет \(\frac{4}{15}\), что "решка" выпала при первых трех подбрасываниях монеты, при условии, что в шести подбрасываниях "решка" выпала ровно четыре раза.