Когда (Sin3x-sinx)/cos3x более или равно нулю?

Для решения данной задачи, нам необходимо выяснить, в каких интервалах переменная \(x\) удовлетворяет условию \(\frac{{\sin(3x) - \sin(x)}}{{\cos(3x)}} \geq 0\).

Давайте начнем с приведения данного выражения к более удобному виду. Используем формулу разности для синуса:

\[\sin(3x) - \sin(x) = 2\cos\left(\frac{{2x+4x}}{2}\right)\sin\left(\frac{{4x-2x}}{2}\right) = 2\cos(2x)\sin(2x) = 2\sin(2x)\cos(2x).\]

Теперь заметим, что \(\cos(3x)\) можно записать как \(\frac{{\cos(2x)\cos(x) - \sin(2x)\sin(x)}}{{\cos(x)}},\) используя формулу двойного угла для косинуса:

\[\cos(2x)\cos(x) - \sin(2x)\sin(x) = \cos(2x + x) = \cos(3x).\]

Теперь мы можем переписать исходное выражение в виде:

\[\frac{{2\sin(2x)\cos(2x)}}{{\cos(3x)}} \geq 0.\]

Для определения интервалов, в которых это неравенство выполняется, мы должны рассмотреть значения синуса, косинуса и тангенса на интервалах, где их значения положительны, отрицательны и равны нулю.

1) Рассмотрим значения \(\sin(2x)\). Синус положителен на интервалах \(\left(2k\pi, (2k + 1)\pi\right)\), где \(k\) - целое число, и отрицателен на интервалах \(\left((2k - 1)\pi, 2k\pi\right)\).

2) Рассмотрим значения \(\cos(2x)\). Косинус положителен на интервалах \(\left(\frac{{(4k - 1)\pi}}{4}, \frac{{(4k + 1)\pi}}{4}\right)\) и \(\left(\frac{{(4k + 3)\pi}}{4}, \frac{{(4k + 5)\pi}}{4}\right)\), где \(k\) - целое число, и отрицателен на интервалах \(\left(\frac{{(4k + 1)\pi}}{4}, \frac{{(4k + 3)\pi}}{4}\right)\) и \(\left(\frac{{(4k + 5)\pi}}{4}, \frac{{(4k + 7)\pi}}{4}\right)\).

3) Рассмотрим значения \(\cos(3x)\). Косинус положителен на интервалах \(\left(\frac{{(6k - 1)\pi}}{6}, \frac{{(6k + 1)\pi}}{6}\right)\) и \(\left(\frac{{(6k + 5)\pi}}{6}, \frac{{(6k + 7)\pi}}{6}\right)\), где \(k\) - целое число, и отрицателен на интервалах \(\left(\frac{{(6k + 1)\pi}}{6}, \frac{{(6k + 5)\pi}}{6}\right)\) и \(\left(\frac{{(6k + 7)\pi}}{6}, \frac{{(6k + 11)\pi}}{6}\right)\).

Теперь посмотрим на знак выражения \(\frac{{2\sin(2x)\cos(2x)}}{{\cos(3x)}}\).

На интервалах, где \(\sin(2x) > 0\) и \(\cos(2x) > 0\), т.е. интервалы \(\left(2k\pi, (2k + 1)\pi\right)\) при нечетном \(k\), выражение \(\frac{{2\sin(2x)\cos(2x)}}{{\cos(3x)}}\) остается положительным.

На интервалах, где \(\sin(2x) < 0\) и \(\cos(2x) < 0\), т.е. интервалы \(\left((2k - 1)\pi, 2k\pi\right)\) при четном \(k\), выражение \(\frac{{2\sin(2x)\cos(2x)}}{{\cos(3x)}}\) также остается положительным.

Таким образом, неравенство \(\frac{{\sin(3x) - \sin(x)}}{{\cos(3x)}} \geq 0\) выполняется на всех интервалах значений переменной \(x\), кроме интервалов, где \(\cos(3x) = 0\) или \(x\) принимает значения из интервалов, для которых \(\sin(2x) = 0\) и \(\cos(2x) = 0\).

Надеюсь, мое объяснение позволяет вам понять, в каких интервалах переменная \(x\) удовлетворяет данному неравенству. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.