Какова вероятность, что количество промахов при 50 выстрелах не превысит пяти, если вероятность промаха при одном

Для решения данной задачи воспользуемся формулами Бернулли, Муавра-Лапласа и Пуассона, поочередно проверив корректность каждого подхода.

1. Решение с использованием формулы Бернулли:

Формула Бернулли используется для нахождения вероятности успеха в серии испытаний Бернулли. В данном случае, вероятность успеха - это вероятность промаха при одном выстреле, которая составляет 0,1.

По формуле Бернулли, вероятность того, что количество промахов при 50 выстрелах не превысит пяти, вычисляется следующим образом:

\[P(X \leq 5) = \sum_{k=0}^{5} C_{50}^{k} \cdot (0.1)^k \cdot (0.9)^{(50-k)}\]

где \(C_{50}^{k}\) обозначает число сочетаний из 50 по k (количество успешных выстрелов), а \((0.1)^k \cdot (0.9)^{(50-k)}\) - это вероятность сочетания k успехов и (50-k) неудач.

Теперь, вычислим данную вероятность:

\[
P(X \leq 5) = C_{50}^{0} \cdot (0.1)^0 \cdot (0.9)^{50} + C_{50}^{1} \cdot (0.1)^1 \cdot (0.9)^{49} + \ldots + C_{50}^{5} \cdot (0.1)^5 \cdot (0.9)^{45}
\]

Результатом данной формулы будет искомая вероятность.

2. Решение с использованием формулы Муавра-Лапласа:

Формула Муавра-Лапласа предоставляет аппроксимацию биномиального распределения большого объема приближенно нормальным распределением.

Согласно формуле Муавра-Лапласа, вероятность выпадения k успехов из n испытаний определяется следующим выражением:

\[
P(X = k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}e^{-\frac{(k-np)^2}{2npq}}
\]

где n - количество испытаний, p - вероятность успеха в одном испытании, q = 1-p и \(np\) представляет среднее значение.

В данном случае, мы ищем вероятность того, что количество промахов при 50 выстрелах не превысит пяти, то есть \(P(X \leq 5)\).

Применим формулу Муавра-Лапласа, подставив соответствующие значения:

\[
P(X \leq 5) = P(X = 0) + P(X = 1) + \ldots + P(X = 5)
\]

Здесь \(n = 50\), \(p = 0.1\), \(q = 0.9\), а \(k\) принимает значения от 0 до 5.

3. Решение с использованием формулы Пуассона:

Формула Пуассона применяется для оценки вероятности редкого события в условиях большого количества испытаний. В данном случае, мы можем рассматривать количество промахов при 50 выстрелах как редкое событие при малой вероятности промаха.

Согласно формуле Пуассона, вероятность того, что количество событий X равно k, определяется следующим выражением:

\[
P(X = k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}
\]

где \(\lambda = np\) является средним значением и равняется 5 в данном случае.

Аналогично предыдущим методам, мы ищем вероятность \(P(X \leq 5)\), которая вычисляется следующим образом:

\[P(X \leq 5) = P(X = 0) + P(X = 1) + \ldots + P(X = 5)\]

Подставим значения и найдем результат.

После решения этой задачи с помощью каждого из предложенных методов можно сравнить полученные результаты и выбрать наиболее подходящий метод при дальнейшем анализе.