Какова скорость моторной лодки, если она проплыла расстояние от турбазы до города за 3 часа, двигаясь против течения

Для решения данной задачи, нам потребуется использовать формулу для вычисления скорости лодки относительно неподвижного наблюдателя:

\[V_\text{лодки} = \frac{S}{t}\]

где \(V_\text{лодки}\) - скорость лодки, \(S\) - пройденное расстояние, \(t\) - время движения.

При движении лодки против течения реки, скорость лодки относительно неподвижного наблюдателя будет равна сумме скорости лодки относительно воды и скорости течения реки:

\[V_\text{лодки против течения} = V_\text{лодки относительно воды} + V_\text{скорость течения реки}\]

Аналогично, при движении лодки по течению реки, скорость лодки относительно неподвижного наблюдателя будет равна разности скорости лодки относительно воды и скорости течения реки:

\[V_\text{лодки по течению} = V_\text{лодки относительно воды} - V_\text{скорость течения реки}\]

Дано, что для движения от турбазы до города вектор скорости лодки равен \(\frac{S}{3}\) км/ч, а для обратного пути \(\frac{S}{\frac{5}{3}}\) км/ч.

Также, из условия задачи известно, что скорость течения реки составляет 3 км/ч.

Теперь рассмотрим первый случай движения лодки против течения:

\[V_\text{лодки против течения} = V_\text{лодки относительно воды} + V_\text{скорость течения реки}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{S}{3} = V_\text{лодки относительно воды} + 3\]

Теперь рассмотрим второй случай движения лодки по течению:

\[V_\text{лодки по течению} = V_\text{лодки относительно воды} - V_\text{скорость течения реки}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{S}{\frac{5}{3}} = V_\text{лодки относительно воды} - 3\]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[
\begin{cases}
\frac{S}{3} = V_\text{лодки относительно воды} + 3 \\
\frac{S}{\frac{5}{3}} = V_\text{лодки относительно воды} - 3
\end{cases}
\]

Для решения этой системы уравнений удобно воспользоваться методом подстановки.

Из первого уравнения получаем:

\[V_\text{лодки относительно воды} = \frac{S}{3} - 3\]

Подставляем это значение во второе уравнение:

\[\frac{S}{\frac{5}{3}} = \left(\frac{S}{3} - 3\right) - 3\]

Упростим выражение:

\[\frac{S}{\frac{5}{3}} = \frac{S}{3} - 6\]

Умножим обе части уравнения на \(\frac{5}{3}\), чтобы избавиться от знаменателя:

\[3S = 5S - 30\]

Выразим \(S\):

\[2S = 30\]

\[S = 15\]

Теперь, зная пройденное расстояние \(S = 15\) км и время движения в первом случае \(t = 3\) часа, вычислим скорость лодки против течения:

\[V_\text{лодки против течения} = \frac{S}{t} = \frac{15}{3} = 5 \text{ км/ч}\]

Таким образом, скорость моторной лодки против течения реки составляет 5 км/ч.