Какова вероятность, что из 10 пакетов акций на аукционах не будут проданы 5 пакетов по первоначально заявленной цене?

Для решения этих задач мы можем воспользоваться так называемыми биномиальными распределениями, так как в каждом пакете акций может быть два возможных исхода: либо продажа по первоначальной цене, либо не продажа по первоначальной цене.

1. Какова вероятность, что из 10 пакетов акций на аукционах не будут проданы 5 пакетов по первоначально заявленной цене?

Для нахождения этой вероятности мы можем воспользоваться формулой биномиального распределения:

\[P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

Где \(P(X = k)\) - вероятность того, что из 10 пакетов будет продано ровно k пакетов по первоначальной цене,
\(C_n^k\) - число сочетаний из n по k,
\(p\) - вероятность продажи одного пакета по первоначальной цене,
\(n\) - количество пакетов акций.

В данном случае \(k = 5\), так как мы ищем вероятность, что 5 пакетов не будут проданы по первоначальной цене. Вероятность продажи одного пакета по первоначальной цене не указана, поэтому предположим, что она равна 0,5.

Подставив значения в формулу, получим:

\[P(X = 5) = C_{10}^5 \cdot 0.5^5 \cdot (1-0.5)^{10-5}\]

Расчитаем:

\[P(X = 5) = \frac{10!}{5! \cdot (10-5)!} \cdot 0.5^5 \cdot 0.5^5 = 0.24609375\]

Таким образом, вероятность того, что из 10 пакетов акций не будут проданы 5 пакетов по первоначально заявленной цене, составляет около 0.246 или 24.6%.

2. Какова вероятность, что из 10 пакетов акций на аукционах будут проданы ровно 3 пакета по первоначально заявленной цене?

Для нахождения этой вероятности мы также можем воспользоваться формулой биномиального распределения:

\[P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

Где \(P(X = k)\) - вероятность того, что из 10 пакетов будет продано ровно k пакетов по первоначальной цене,
\(C_n^k\) - число сочетаний из n по k,
\(p\) - вероятность продажи одного пакета по первоначальной цене,
\(n\) - количество пакетов акций.

В данном случае \(k = 3\), так как мы ищем вероятность, что 3 пакета будут проданы по первоначальной цене. Предположим, что вероятность продажи одного пакета по первоначальной цене также равна 0,5.

Подставим значения в формулу:

\[P(X = 3) = C_{10}^3 \cdot 0.5^3 \cdot (1-0.5)^{10-3}\]

Рассчитаем:

\[P(X = 3) = \frac{10!}{3! \cdot (10-3)!} \cdot 0.5^3 \cdot 0.5^7 = 0.1171875\]

Таким образом, вероятность того, что из 10 пакетов акций будут проданы ровно 3 пакета по первоначально заявленной цене, составляет около 0.117 или 11.7%.

3. Сколько пакетов должно быть, чтобы хотя бы один из них был продан по первоначальной цене с вероятностью не менее 0.5?

Для решения этой задачи нам понадобиться формула биномиального распределения:

\[P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)\]

Где \(P(X \geq 1)\) - вероятность того, что хотя бы один из пакетов будет продан по первоначальной цене,
\(P(X = 0)\) - вероятность того, что ни один из пакетов не будет продан по первоначальной цене.

Так как вероятность продажи одного пакета по первоначальной цене не указана, предположим, что она равна 0,5.

Подставим значения в формулу:

\[P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - C_n^0 \cdot 0.5^0 \cdot (1-0.5)^{n-0}\]

Для нахождения минимального количества пакетов, при котором вероятность не менее 0.5, мы можем итеративно увеличивать количество пакетов, пока вероятность \(P(X \geq 1)\) не станет больше или равной 0.5.

Давайте начнем с 1 пакета и пошагово будем увеличивать его количество:

При 1 пакете:

\[P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - C_1^0 \cdot 0.5^0 \cdot (1-0.5)^1 = 0.5\]

При 2 пакетах:

\[P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - C_2^0 \cdot 0.5^0 \cdot (1-0.5)^2 = 0.75\]

При 3 пакетах:

\[P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - C_3^0 \cdot 0.5^0 \cdot (1-0.5)^3 = 0.875\]

Таким образом, нам потребуется хотя бы 3 пакета, чтобы вероятность продажи хотя бы одного пакета по первоначальной цене была не менее 0.5.