Какова вероятность, что двое случайно выбранных спортсменов будут прыгунами в длину, среди 8 прыгунов в длину

Давайте рассмотрим каждую задачу по порядку.

1. Какова вероятность, что двое случайно выбранных спортсменов будут прыгунами в длину, среди 8 прыгунов в длину и 7 прыгунов в высоту?

Для решения данной задачи, нам необходимо знать общее количество возможных комбинаций выбора двух спортсменов из общего числа всех спортсменов. Затем, мы должны определить количество благоприятных исходов, то есть количество комбинаций, где оба спортсмена являются прыгунами в длину.

Общее количество возможных комбинаций выбора двух спортсменов из всех спортсменов можно вычислить с помощью формулы сочетания:

\[
C(n,k) = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}
\]

где \(n\) - общее количество спортсменов, \(k\) - количество выбираемых спортсменов.

В данном случае, общее количество спортсменов составляет 15 (8 прыгунов в длину + 7 прыгунов в высоту), а мы выбираем двух спортсменов.

Теперь, давайте найдем количество благоприятных исходов, то есть количество комбинаций спортсменов, где оба являются прыгунами в длину. Здесь мы имеем 8 прыгунов в длину, поэтому мы выбираем двух из них.

Применяя формулу сочетания, количество благоприятных исходов будет:

\[
C(8,2) = \frac{{8!}}{{2!(8-2)!}} = \frac{{8!}}{{2!6!}} = 28
\]

Теперь, подставив значения в формулу вероятности, мы можем найти вероятность выбора двух прыгунов в длину:

\[
\text{{Вероятность}} = \frac{{\text{{количество благоприятных исходов}}}}{{\text{{общее количество возможных комбинаций}}}}
\]

\[
\text{{Вероятность}} = \frac{{28}}{{C(15,2)}} = \frac{{28}}{{C(15,2)}} = \frac{{28}}{{\frac{{15!}}{{2!(15-2)!}}}} = \frac{{28}}{{\frac{{15!}}{{2!13!}}}} = \frac{{28 \cdot 2!}}{{15!/(13!)}} = \frac{{28 \cdot 2!}}{{\frac{{15!}}{{13!}}}} = \frac{{2! \cdot 28 \cdot 13!}}{{15!}}
\]

\[
\text{{Вероятность}} \approx \frac{{2! \cdot 28}}{{15 \cdot 14}} \approx \frac{{56}}{{210}} \approx 0.267
\]

Таким образом, вероятность выбора двух прыгунов в длину составляет примерно 0.267.

2. Какова вероятность того, что в процессе тренировки спортсмен сможет взять вес ровно 1 раз, если он делает 3 попытки с вероятностями успеха 0.7, 0.6 и 0.5 соответственно?

Для нахождения вероятности, что спортсмен сможет взять вес ровно 1 раз при 3 попытках, мы должны рассмотреть все возможные варианты исходов.

Есть 3 возможных варианта:
- Успех на первой попытке, а неудача на второй и третьей.
- Неудача на первой попытке, успех на второй, и неудача на третьей.
- Неудача на первой и второй попытках, и успех на третьей.

Для каждого варианта мы можем использовать вероятности успеха и неудачи, чтобы найти вероятность данного варианта.

Для первого варианта, вероятность успеха на первой попытке равна 0.7, а вероятность неудачи равна 0.3. Поскольку все события являются независимыми, мы можем умножить вероятности событий для получения общей вероятности данного варианта:

0.7 * 0.4 * 0.5 = 0.14

Для второго варианта, вероятность успеха на второй попытке равна 0.6, а вероятность неудачи равна 0.4. Вероятность данного варианта:

0.3 * 0.6 * 0.5 = 0.09

Для третьего варианта, вероятность успеха на третьей попытке равна 0.5, а вероятность неудачи равна 0.5. Вероятность данного варианта:

0.3 * 0.4 * 0.5 = 0.06

Теперь, чтобы найти общую вероятность события "взять вес ровно 1 раз", мы должны сложить вероятности всех возможных вариантов:

0.14 + 0.09 + 0.06 = 0.29

Таким образом, вероятность того, что спортсмен сможет взять вес ровно 1 раз при 3 попытках, составляет 0.29 или 29%.