Какова вероятность, что цель будет поражена одной очередью от автомата, выбранного случайно, если в оружейном шкафу

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать понятие условной вероятности. Давайте приступим к решению.

У нас имеется 30 автоматов в оружейном шкафу, из которых 20 автоматов — новой модели, а 10 автоматов — старой модели.

Обозначим событие "Цель будет поражена одной очередью от автомата" как А, событие "Выбор автомата новой модели" как В, а событие "Выбор автомата старой модели" как С.

Нам известно, что вероятность поражения цели от автомата новой модели составляет 0,9, а от автомата старой модели неизвестна. Давайте обозначим вероятность поражения цели от автомата старой модели как P(C).

Мы должны вычислить вероятность события А, то есть вероятность того, что цель будет поражена одной очередью от автомата, выбранного случайно.

Мы можем использовать формулу условной вероятности для этого:
\[P(A) = P(A|B) \cdot P(B) + P(A|C) \cdot P(C)\]

Теперь встаёт вопрос - какова вероятность события А, если мы выбираем автомат новой модели? Дано, что вероятность поражения цели от автомата новой модели составляет 0,9. То есть, вероятность того, что цель будет поражена одной очередью от автомата новой модели при условии, что мы выбрали такой автомат, равна 0,9. Математически это можно записать как P(A|B) = 0,9.

Теперь нам нужно узнать вероятность события А, если мы выбираем автомат старой модели. Дано, что эта вероятность неизвестна, поэтому мы обозначим её как P(C).

Сумма вероятностей всех исходов должна быть равна 1, поэтому вероятность выбора автомата новой модели равна \(\frac{20}{30} = \frac{2}{3}\), а вероятность выбора автомата старой модели равна \(\frac{10}{30} = \frac{1}{3}\). Таким образом, P(B) = \(\frac{2}{3}\) и P(C) = \(\frac{1}{3}\).

Теперь мы можем подставить все известные значения в формулу условной вероятности:
\[P(A) = 0,9 \cdot \frac{2}{3} + P(C) \cdot \frac{1}{3}\]

Итак, мы знаем, что вероятность события А составляет 0,9, вероятность выбора автомата новой модели равна \(\frac{2}{3}\) и вероятность выбора автомата старой модели равна \(\frac{1}{3}\). Подставляя эти значения в формулу, получаем:
\[P(A) = 0,9 \cdot \frac{2}{3} + P(C) \cdot \frac{1}{3}\]

Дано, что сумма вероятностей всех исходов должна быть равна 1, поэтому \(P(A) + P(\overline{A}) = 1\), где \(\overline{A}\) обозначает событие "Цель не будет поражена одной очередью от автомата".

Таким образом, \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\). Мы можем использовать это соотношение, чтобы выразить \(P(C)\) через \(P(A)\):
\[P(C) = \frac{1}{3} \cdot (1 - P(A))\]

Теперь мы можем подставить это значение в нашу исходную формулу и решить её:
\[P(A) = 0,9 \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \cdot (1 - P(A))\]

Упрощая это уравнение, получаем:
\[P(A) = 0,9 \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot P(A)\]

Раскрывая скобки, получаем:
\[P(A) = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot P(A)\]

Собирая все слагаемые, получаем:
\[\frac{4}{3} \cdot P(A) = \frac{2}{3} + \frac{1}{3}\]

Упрощая это уравнение, получаем:
\[\frac{4}{3} \cdot P(A) = 1\]

Теперь, чтобы найти \(P(A)\), делим обе части уравнения на \(\frac{4}{3}\):
\[P(A) = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}\]

Итак, вероятность того, что цель будет поражена одной очередью от автомата, выбранного случайно, составляет \(\frac{3}{4}\), или 75%.