Какова величина угла А в прямоугольном треугольнике, если известно, что высота СД проведена из вершины С к прямому углу

Для решения этой задачи нам понадобится использовать теорему Пифагора для прямоугольных треугольников и свойства высоты треугольника.

1. Дано, что длины сторон \(ДБ\) и \(ВС\) равны соответственно 6.

2. Проведена высота \(СД\) из вершины \(С\) к прямому углу \(А\).

3. По свойству высоты треугольника, эта высота делит треугольник на два подобных треугольника.

4. Треугольник \(АСД\) и треугольник \(ВСД\) являются подобными.

5. По теореме Пифагора для треугольника \(ВСД\) получаем: \[ВД^2 = ВС^2 - СД^2\]
Подставляем известные значения: \[ВД^2 = 6^2 - СД^2\]
\[ВД^2 = 36 - СД^2\]

6. По теореме Пифагора для треугольника \(АСД\) получаем: \[АД^2 = СД^2 + СА^2\]
Подставляем известные значения: \[АД^2 = СД^2 + СА^2\]
Используем полученное в предыдущем шаге значение для \(СД^2\), получаем: \[АД^2 = СД^2 + СА^2\]
\[АД^2 = СД^2 + (ВД + ВС)^2\]
\[АД^2 = СД^2 + (ВД^2 + 2 \cdot ВД \cdot ВС + ВС^2)\]
\[АД^2 = СД^2 + ВД^2 + 2 \cdot ВД \cdot ВС + ВС^2\]
\[АД^2 = СД^2 + 36 - СД^2 + 2 \cdot ВД \cdot ВС + ВС^2\]
\[АД^2 = 36 + 2 \cdot ВД \cdot ВС + ВС^2\]

7. Так как треугольник \(АСД\) и треугольник \(ВСД\) подобны, то отношение соответствующих сторон равно: \[\frac{АД}{ВД} = \frac{СД}{ВС}\]
Подставляем известные значения: \[\frac{АД}{ВД} = \frac{СД}{ВС}\]
\[\frac{АД}{ВД} = \frac{СД}{6}\]
Так как \(СД^2\) равно разности \(ВД^2\) и 36, то подставим это значение: \[\frac{АД}{ВД} = \frac{\sqrt{ВД^2 - 36}}{6}\]
Далее, решим полученное уравнение относительно \(АД\): \[АД = \frac{\sqrt{ВД^2 - 36}}{6} \cdot ВД\]

8. Осталось найти выражение для выражения \(АД^2\) через известные значения \(СД^2\) и \(ВД^2\).
В нашем случае, значения этих выражений уже известны:
\[АД^2 = 36 + 2 \cdot ВД \cdot ВС + ВС^2\]
Подставляем известные значения для \(ВД\) и \(ВС\): \[АД^2 = 36 + 2 \cdot 6 \cdot 6 + 6^2\]
\[АД^2 = 36 + 72 + 36\]
\[АД^2 = 144 + 36\]
\[АД^2 = 180\]

9. Теперь мы можем найти значение \(АД\), находим извлечением квадратного корня из \(АД^2\):
\[АД = \sqrt{180}\]

10. Осталось найти значение угла \(А\).
По теореме косинусов: \[А\cos = \frac{ВД}{АД}\]
Подставляем известные значения: \[А\cos = \frac{6}{\sqrt{180}}\]
Возьмем обратный косинус от полученного значения, чтобы найти угол \(А\): \[А = \arccos{\left(\frac{6}{\sqrt{180}}\right)}\]

Таким образом, величина угла \(A\) в прямоугольном треугольнике равна значению, полученному при вычислении \(\arccos{\left(\frac{6}{\sqrt{180}}\right)}\).