Какова величина угла А в прямоугольном треугольнике, если известно, что высота СД проведена из вершины С к прямому углу

Для решения этой задачи нам понадобится использовать теорему Пифагора для прямоугольных треугольников и свойства высоты треугольника.

1. Дано, что длины сторон $ДБ$ и $ВС$ равны соответственно 6.

2. Проведена высота $СД$ из вершины $С$ к прямому углу $А$.

3. По свойству высоты треугольника, эта высота делит треугольник на два подобных треугольника.

4. Треугольник $АСД$ и треугольник $ВСД$ являются подобными.

5. По теореме Пифагора для треугольника $ВСД$ получаем: $$В{Д}^2=В{С}^2-С{Д}^2$$
Подставляем известные значения: $$В{Д}^2=6^2-С{Д}^2$$
$$В{Д}^2=36-С{Д}^2$$

6. По теореме Пифагора для треугольника $АСД$ получаем: $$А{Д}^2=С{Д}^2+С{А}^2$$
Подставляем известные значения: $$А{Д}^2=С{Д}^2+С{А}^2$$
Используем полученное в предыдущем шаге значение для $С{Д}^2$, получаем: $$А{Д}^2=С{Д}^2+С{А}^2$$
$$А{Д}^2=С{Д}^2+(ВД+ВС{)}^2$$
$$А{Д}^2=С{Д}^2+(В{Д}^2+2\cdot ВД\cdot ВС+В{С}^2)$$
$$А{Д}^2=С{Д}^2+В{Д}^2+2\cdot ВД\cdot ВС+В{С}^2$$
$$А{Д}^2=С{Д}^2+36-С{Д}^2+2\cdot ВД\cdot ВС+В{С}^2$$
$$А{Д}^2=36+2\cdot ВД\cdot ВС+В{С}^2$$

7. Так как треугольник $АСД$ и треугольник $ВСД$ подобны, то отношение соответствующих сторон равно: $$\frac{АД}{ВД}=\frac{СД}{ВС}$$
Подставляем известные значения: $$\frac{АД}{ВД}=\frac{СД}{ВС}$$
$$\frac{АД}{ВД}=\frac{СД}{6}$$
Так как $С{Д}^2$ равно разности $В{Д}^2$ и 36, то подставим это значение: $$\frac{АД}{ВД}=\frac{\sqrt{В{Д}^2-36}}{6}$$
Далее, решим полученное уравнение относительно $АД$: $$АД=\frac{\sqrt{В{Д}^2-36}}{6}\cdot ВД$$

8. Осталось найти выражение для выражения $А{Д}^2$ через известные значения $С{Д}^2$ и $В{Д}^2$.
В нашем случае, значения этих выражений уже известны:
$$А{Д}^2=36+2\cdot ВД\cdot ВС+В{С}^2$$
Подставляем известные значения для $ВД$ и $ВС$: $$А{Д}^2=36+2\cdot 6\cdot 6+6^2$$
$$А{Д}^2=36+72+36$$
$$А{Д}^2=144+36$$
$$А{Д}^2=180$$

9. Теперь мы можем найти значение $АД$, находим извлечением квадратного корня из $А{Д}^2$:
$$АД=\sqrt{180}$$

10. Осталось найти значение угла $А$.
По теореме косинусов: $$А\cos =\frac{ВД}{АД}$$
Подставляем известные значения: $$А\cos =\frac{6}{\sqrt{180}}$$
Возьмем обратный косинус от полученного значения, чтобы найти угол $А$: $$А=\arccos \left(\frac{6}{\sqrt{180}}\right)$$

Таким образом, величина угла $A$ в прямоугольном треугольнике равна значению, полученному при вычислении $\arccos \left(\frac{6}{\sqrt{180}}\right)$.