Яку довжину має більша діагональ ромба зі стороною, що дорівнює 12 см, якщо тупий кут ромба дорівнює 120 градусів?

Щоб обчислити довжину більшої діагоналі ромба, нам спочатку потрібно з"ясувати його властивості. За відомими даними, ми знаємо, що сторона ромба дорівнює 12 см, а тупий кут ромба становить 120 градусів.

Ромб - це чотирикутник, у якого всі сторони мають однакову довжину, а супротивні кути дорівнюють один одному. Також відомо, що діагоналі ромба перпендикулярні одна до одної та перетинаються в центрі ромба.

Для вирішення цієї задачі нам знадобиться знання про те, як залежить довжина більшої діагоналі ромба від довжини його сторони. Використаємо теорему Піфагора для трикутника, утвореного від діагоналі та сторони ромба.

За теоремою Піфагора, знаючи довжини двох катетів \(a\) і \(b\), ми можемо визначити довжину гіпотенузи \(c\) за формулою:
\[c = \sqrt{a^2 + b^2}\]

У нашому випадку, сторона ромба \(a = 12\) см. Щоб знайти довжину більшої діагоналі \(d\), ми можемо представити її як гіпотенузу трикутника, зі стороною ромба як одним катетом, а меншою діагоналлю \(b\) як іншим катетом.

Таким чином, ми можемо записати рівняння:
\[d = \sqrt{12^2 + b^2}\]

Відомо, що тупий кут ромба дорівнює 120 градусам. Так як менша діагональ є бісектрисою цього кута, розділяючи його на дві рівні частини, то можна вважати, що трикутник, утворений меншою діагоналлю, є рівнобедреним. Значить, довжина \(b\) буде рівною половині довжини меншої діагоналі \(b\).

З цими відомими, ми можемо побудувати рівняння:
\[d = \sqrt{12^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2}\]

Тепер можемо обчислити довжину більшої діагоналі. Підставимо значення сторони ромба \(a = 12\) см:
\[d = \sqrt{12^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2} = \sqrt{144 + \left(\frac{b}{2}\right)^2}\]

Далі використовуємо відомий факт, що трикутник зі сторонами \(3\), \(4\) і \(5\) є прямокутним, замість катета \(3\) ми маємо катет \(\frac{b}{2}\), довжина гіпотенузи \(d\), а довжина другого катета \(12\). Розв"язуючи це рівняння за допомогою теореми Піфагора, ми знаходимо довжину більшої діагоналі:

\[\sqrt{144 + \left(\frac{b}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2 + 12^2}\]
\[144 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(\frac{b}{2}\right)^2 + 12^2\]
\[144 = 144 + 12^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2\]
\[0 = 12^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2\]
\[12^2 = \left(\frac{b}{2}\right)^2\]
\[144 = \frac{b^2}{4}\]
\[4 \cdot 144 = b^2\]
\[576 = b^2\]
\[b = \sqrt{576}\]
\[b = 24\]

Отже, довжина меншої діагоналі ромба становить 24 см. Тепер, підставляючи це значення в формулу для довжини більшої діагоналі ромба, ми можемо отримати рішення:

\[d = \sqrt{12^2 + \left(\frac{24}{2}\right)^2} = \sqrt{144 + 144} = \sqrt{288} \approx 16.97\]

Таким чином, більша діагональ ромба має довжину приблизно 16.97 см.