Какова точка минимума функции y =1/3x√x-3x+59?

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Итак, у нас есть функция: \(y = \frac{1}{3}x\sqrt{x} - 3x + 59\)

Чтобы найти точку минимума этой функции, мы можем воспользоваться производной. Производная функции покажет нам, как функция меняется в зависимости от значения \(x\).

Давайте найдем производную функции. Для этого возьмем производную от каждого слагаемого по отдельности, используя правила дифференцирования:

Первое слагаемое: \( \frac{d}{dx}(\frac{1}{3}x\sqrt{x}) \)

Чтобы продифференцировать это слагаемое, мы можем использовать правило производной произведения и правило дифференцирования степени.

Правило производной произведения гласит, что производная произведения двух функций это производная первой функции, умноженная на вторую функцию, плюс первая функция, умноженная на производную второй функции.

Используя это правило, получаем:

\( \frac{d}{dx}(\frac{1}{3}x\sqrt{x}) = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{x} + \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}) \)

Упрощая выражение, получаем:

\( \frac{d}{dx}(\frac{1}{3}x\sqrt{x}) = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}}) \)

Теперь перейдем ко второму слагаемому:

\( \frac{d}{dx}(-3x) = -3 \)

И последнее слагаемое:

\( \frac{d}{dx}(59) = 0 \)

Теперь, собрав все слагаемые, получим производную функции:

\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}}) - 3 \)

Чтобы найти точку минимума функции, мы должны приравнять производную к нулю и решить полученное уравнение:

\( \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}}) - 3 = 0 \)

Упростим это уравнение:

\( \sqrt{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}} - 9 = 0 \)

Теперь умножим обе стороны уравнения на \(2\sqrt{x}\), чтобы избавиться от знаменателя:

\( 2x + 1 - 18\sqrt{x} = 0 \)

Теперь перенесем все слагаемые в одну сторону и упростим:

\( 2x - 18\sqrt{x} + 1 = 0 \)

На этом этапе мы можем заметить, что это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 2\), \(b = -18\), и \(c = 1\).

Теперь мы можем использовать формулу дискриминанта для решения этого уравнения:

Дискриминант \(D\) из формулы дискриминанта равен \(b^2 - 4ac\).

Подставляя значения, получаем:

\(D = (-18)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 324 - 8 = 316\)

Так как дискриминант \(D\) положительный, у нас есть два различных корня для \(x\).

Зная дискриминант \(D\) и коэффициенты \(a\) и \(b\), мы можем использовать формулу для нахождения корней:

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\) и \(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\)

Подставляя значения и решая, получаем:

\(x_1 = \frac{18 + \sqrt{316}}{4}\) и \(x_2 = \frac{18 - \sqrt{316}}{4}\)

Теперь, используя найденные значения \(x\), мы можем найти соответствующие значения \(y\) с помощью исходной функции.

Округлим каждое значение \(x\) до ближайшего целого числа и найдем соответствующие значения \(y\).

Например, для \(x_1 = \frac{18 + \sqrt{316}}{4}\):

\(x_1 \approx 6\) и \(y_1 = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot \sqrt{6} - 3 \cdot 6 + 59 \approx 7\)

Аналогично, для \(x_2 = \frac{18 - \sqrt{316}}{4}\):

\(x_2 \approx 1\) и \(y_2 = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot \sqrt{1} - 3 \cdot 1 + 59 \approx 57\)

Таким образом, точка минимума функции \(y = \frac{1}{3}x\sqrt{x} - 3x + 59\) имеет координаты \(x \approx 1, y \approx 57\).

Надеюсь, этот шаг за шагом решение помогло вам понять, как найти точку минимума функции.