Какова связь между высотой прямоугольного треугольника и проекциями его катетов? Как выразить проекцию катета через

Связь между высотой \(h\) прямоугольного треугольника и проекциями его катетов \(p_1\) и \(p_2\) заключается в следующем:

1. Проекция катета через его квадрат и гипотенузу:
Найдем проекцию \(p_1\) катета \(a\) на гипотенузу \(c\). Из подобия треугольников имеем:
\[\frac{a}{c} = \frac{p_1}{h}\]
Отсюда можно выразить проекцию катета:
\[p_1 = \frac{ah}{c}\]

2. Гипотенуза через квадрат катета и его проекцию на гипотенузу:
Найдем гипотенузу \(c\) через квадрат катета \(a\) и его проекцию \(p_1\) на гипотенузу. Используя теорему Пифагора, получим:
\[c^2 = a^2 + p_1^2\]
Отсюда можно выразить гипотенузу:
\[c = \sqrt{a^2 + p_1^2}\]

3. Высота прямоугольного треугольника через среднее пропорциональное из проекций катетов на гипотенузу:
Найдем высоту \(h\) через среднее пропорциональное между проекцией \(p_1\) и проекцией \(p_2\) катетов на гипотенузу. Отношение проекций равно отношению самих катетов:
\[\frac{p_1}{p_2} = \frac{a}{b}\]
Также, из подобия треугольников имеем:
\[\frac{p_1}{h} = \frac{p_2}{h}\]
Следовательно, можно выразить высоту:
\[h = \sqrt{p_1 \cdot p_2}\]

4. Высота прямоугольного треугольника через произведение катетов и гипотенузу:
Найдем высоту \(h\) через произведение катетов \(a\) и \(b\) и гипотенузу \(c\). Используя площадь треугольника, получим:
\[\frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h\]
Разделив обе части равенства на \(c\), получим:
\[h = \frac{ab}{c}\]

5. Проекция катета через квадрат высоты и проекцию другого катета:
Найдем проекцию \(p_1\) катета \(a\) через квадрат высоты \(h\) и проекцию \(p_2\) другого катета. Используя теорему Пифагора для треугольника со сторонами \(h\), \(p_1\), и \(a\), получим:
\[h^2 = p_1^2 + a^2\]
Отсюда можно выразить проекцию:
\[p_1 = \sqrt{h^2 - a^2}\]